已知函數(shù)f(x)滿足:對任意實(shí)數(shù)a、b都有f(a•b)=af(b)+bf(a).
(1)求證:f(x)為奇函數(shù);
(2)設(shè)數(shù)學(xué)公式,記an=f(2n),n∈N*,求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn;
(3)若對一切實(shí)數(shù)x,均有|f(x)|≤1,試證:?x∈R,f(x)=0.

解:(1)由已知得f(0)=f(0×0)=0•f(0)+0•f(0)=0,
又f(1)=f(1×1)=1•f(1)+1•f(1)=2f(1),∴f(1)=0
又f(1)=f[(-1)•(-1)]=(-1)•f(-1)+(-1)•f(-1)=-2f(-1),∴f(-1)=0
∴f(-x)=f[(-1)•x]=-f(x)+xf(-1)=-f(x),∴f(x)為奇函數(shù).

(2)∵,∴
∴an+1=f(2n+1)=f(2×2n)=2f(2n)+2nf(2)=2an+2n+1,
,又∵,
∴數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,∴,an=n•2n(n∈N*),
∴Sn=1•2+2•22+3•23++n•2n,2Sn=1•22+2•23+3•24++(n-1)•2n+n•2n+1,
∴Sn=n•2n+1-(2+22+23++2n)=n•2n+1-2(2n-1)=(n-1)•2n+1+2.

(3)記,由(1)知,h(x)為偶函數(shù),
由f(ab)=af(b)+bf(a),得,
即h(ab)=h(a)+h(b),易知h(1)=0
假設(shè)存在x0≠0,使得h(x0)=t(t≠0),因h(x)為偶函數(shù),故不妨設(shè)x0>0.
①若x0>1,則當(dāng)n∈N*時(shí),h(x0n)=n•h(x0)=nt,即
∴f(x0n)=n•t•x0n,故必存在足夠大的正整數(shù)n,使得|f(x0n)|=|n•t•x0n|>1
這與已知“對一切實(shí)數(shù)x,均有|f(x)|≤1”矛盾;
②若0<x0<1,則由
同理可得,必存在足夠大的正整數(shù)n,使得
這也與已知“對一切實(shí)數(shù)x,均有|f(x)|≤1”矛盾;
綜上所述,假設(shè)不能成立,故對一切實(shí)數(shù)x,f(x)恒為零.
即:?x∈R,f(x)=0
分析:(1)通過f(a•b)=af(b)+bf(a)給a,b賦值,可求得f(1)=0,f(-1)=0,從而得到f(-x)=-f(x)即可得證.
(2)由an=f(2n)可得數(shù)列{an}的遞推式,然后通過構(gòu)造得,得其通項(xiàng),從而求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,利用求和公式即可求其前n項(xiàng)和Sn
(3)要證?x∈R,f(x)=0成立,直接證不好證,利用反證法,通過構(gòu)造新函數(shù),利用函數(shù)的奇偶性和f(x)的有界性,命題得證.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了函數(shù)奇偶性的判斷,以及賦值法研究抽象函數(shù),同時(shí)考查了數(shù)列通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的求法和反證法證明命題.綜合性很強(qiáng),需要學(xué)生扎實(shí)的基礎(chǔ)和靈活的解題能力,是個(gè)難題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)f(y),(x,y∈R)且f(1)=
1
2

(1)若n∈N*時(shí),求f(n)的表達(dá)式;
(2)設(shè)bn=
nf(n+1)
f(n)
  (n∈N*)
,sn=b1+b2+…+bn,求
1
s1
+
1
s2
+…+
1
sn
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x) 滿足f(x+4)=x3+2,則f-1(1)等于( �。�

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)滿足f(x)+f'(0)-e-x=-1,函數(shù)g(x)=-λlnf(x)+sinx是區(qū)間[-1,1]上的減函數(shù).
(1)當(dāng)x≥0時(shí),曲線y=f(x)在點(diǎn)M(t,f(t))的切線與x軸、y軸圍成的三角形面積為S(t),求S(t)的最大值;
(2)若g(x)<t2+λt+1在x∈[-1,1]時(shí)恒成立,求t的取值范圍;
(3)設(shè)函數(shù)h(x)=-lnf(x)-ln(x+m),常數(shù)m∈Z,且m>1,試判定函數(shù)h(x)在區(qū)間[e-m-m,e2m-m]內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并作出證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)滿足:f(p+q)=f(p)f(q),f(1)=3,則
f2(1)+f(2)
f(1)
+
f2(2)+f(4)
f(3)
+
f2(3)+f(6)
f(5)
+
f2(4)+f(8)
f(7)
=
24.
24.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•珠海二模)已知函數(shù)f(x)滿足:當(dāng)x≥1時(shí),f(x)=f(x-1);當(dāng)x<1時(shí),f(x)=2x,則f(log27)=( �。�

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