已知函數(shù)。

求證：（1）f(x)在其定義域上是增函數(shù)；

（2）方程f(x)=1最多有一個(gè)實(shí)根。

答案：
解析：

(1)先求出函數(shù)f(x)的定義域，再用定義證明f(x)在其定義域上是增函數(shù)。

    也可以利用基本函數(shù)和的單調(diào)性，直接判斷f(x)=在其定義(0，+∞)上是增函數(shù)。

(2)用反證法證明如下：

    假設(shè)方程f(x)=1至少有兩個(gè)實(shí)根，不妨設(shè)xl、x2(xl＞x2＞0)為方程f(x)=1的根，則f(x1)=f(x2)=1。由(1)的結(jié)論知，函數(shù)f(x)在(0，+∞)上是增函數(shù)，則f(x1)＞f(x2)，這與f(x1)=f(x2)相矛盾。

    故方程f(x)=l最多只有一個(gè)實(shí)根。

    說明：  第(2)小題的幾何意義是：單調(diào)函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=l最多只有一個(gè)交點(diǎn)。這種幾何意義不能代替代數(shù)證明。


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（14分） 理

設(shè)直線. 若直線l與曲線S同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：

①  直線l與曲線S相切且至少有兩個(gè)切點(diǎn)；

② 對任意x∈R都有. 則稱直線l為曲線S的“上夾線”．

（Ⅰ）已知函數(shù)．求證：為曲線的“上夾線”．

（Ⅱ）觀察下圖：

           

        

 

 

 

 

 

 

 

 

根據(jù)上圖，試推測曲線的“上夾線”的方程，并給出證明．

 

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)直線. 若直線l與曲線S同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：①直線l與曲線S相切且至少有兩個(gè)切點(diǎn)；②對任意x∈R都有. 則稱直線l為曲線S的“上夾線”．

（Ⅰ）已知函數(shù)．求證：為曲線的“上夾線”．

（Ⅱ）觀察下圖：

          

   

根據(jù)上圖，試推測曲線的“上夾線”的方程，并給出證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

(本題滿分14分)設(shè)直線. 若直線l與曲線S同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：①直線l與曲線S相切且至少有兩個(gè)切點(diǎn)；②對任意x∈R都有. 則稱直線l為曲線S的“上夾線”．（Ⅰ）已知函數(shù)．求證：為曲線的“上夾線”．

（Ⅱ）觀察下圖：

           

    根據(jù)上圖，試推測曲線的“上夾線”的方程，并給出證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年河北省唐山市高三年級第一次模擬考試數(shù)學(xué)理卷 題型：解答題

(本小題滿分12分）

已知函數(shù)..

(I)求證：

(II)是否存在常數(shù)a使得當(dāng)時(shí)，恒成立？若存在，求a的取值范圍，若不存在，說明理由.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年浙江省高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)理卷 題型：解答題

已知函數(shù).

(1)求證:是的充要條件;

(2)若時(shí), 恒成立,求的取值范圍.

 

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