Question

（2013•湖南模擬）定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f(x+2)=2f(x)，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f(x)=(

2

x

-1)(

2

x

-4)．若f(x)在[-2n，-2n+2](n∈N*)上的最小值為-

9

32

，則n（　�。�

A．1

B．4

C．2

D．3

Answer 1

分析：采用換元法并結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，算出當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，[f（x）]_min=-

9

4

，此時(shí)x=log2

5

2

．然后類似地算出當(dāng)x∈[-2，0]、x∈[-4，-2]、x∈[-6，-4]時(shí)，f（x）在各個(gè)區(qū)間上的最小值，即可得到若f（x）在[2n，2n+2]上的最小值為-

9

32

時(shí)，x∈[-6，-4]，由此即可得到本題的答案．

解答：解：①∵當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=(

2

x

-1)(

2

x

-4)，
∴令2^x=t，得f（x）=（t-1）（t-4）=g（t）
當(dāng)且僅當(dāng)t=

5

2

時(shí)，[f（x）]_min=g（

5

2

）=-

9

4

，此時(shí)x=log2

5

2

∈[0.2]．
②當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，f（x）=

1

2

f（x+2）=

1

2

(

2

x+2

-1)(

2

x+2

-4)，
類似①的方法，可得當(dāng)x=log2

5

8

∈[-2，0）時(shí)，[f（x）]_min=-

9

8

；
③當(dāng)x∈[-4，-2]時(shí)，f（x）=

1

2

f（x+2）=

1

4

(

2

x+4

-1)(

2

x+4

-4)
類似①的方法，可得當(dāng)x=log2

5

32

∈[-4，-2）時(shí)，[f（x）]_min=-

9

16

；
④當(dāng)x∈[-6，-4]時(shí)，f（x）=

1

2

f（x+2）=

1

8

(

2

x+6

-1)(

2

x+6

-4)
類似①的方法，可得當(dāng)x=log2

5

128

∈[-4，-2）時(shí)，[f（x）]_min=-

9

32

綜上所述，若f（x）在[2n，2n+2]上的最小值為-

9

32

時(shí)，n=3
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題給出抽象函數(shù)f（x），在已知在x∈[0，2]時(shí)函數(shù)表達(dá)式且f（x+2）=2f（x）的情況下，求若f（x）在[2n，2n+2]上的最小值為-

9

32

時(shí)n的值．著重考查了函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)和函數(shù)值域求法等知識(shí)，屬于中檔題．