Question

17．從橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上一點P向x軸作垂線，垂足恰為右焦點F₂，A是橢圓與x軸負半軸的交點，B是橢圓與y軸正半軸的交點，且AB∥OP，|F₁A|=$\sqrt{10}$-$\sqrt{5}$，
（1）求此橢圓的方程．
（2）過右焦點F₂作傾斜角為60°的直線交橢圓于M，N兩點，求△OMN的面積．

Answer 1

分析 （1）設出橢圓方程，求出AB，OP所在直線的斜率，由斜率相等得到b=c，再由，|F₁A|=$\sqrt{10}$-$\sqrt{5}$得a-c=$\sqrt{10}$-$\sqrt{5}$，然后結合隱含條件求得a，b的值，則橢圓方程可求．
（2）利用點到直線的距離公式求出點O到直線的距離為d，弦長公式求出|MN|，則△OMN的面積s=$\frac{1}{2}$|MN•d．

解答 解：（1）∵AB∥OP，A（-a，0），B（0，b），P（c，$\frac{^{2}}{a}$），
∴k_AB=k_OP，即$\frac{a}=\frac{^{2}}{ac}$，也就是b=c ①，又∵|F₁A|=$\sqrt{10}$-$\sqrt{5}$得a-c=$\sqrt{10}$-$\sqrt{5}$②，且a²=b²+c² ③．
聯(lián)立①②③可得：a=$\sqrt{10}$，b=$\sqrt{5}$．
所以橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{10}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$；
（2）F₂（$\sqrt{5}$，0），直線方程為y=$\sqrt{3}$（x-$\sqrt{5}$），代入橢圓方程并整理得：7x²-12$\sqrt{5}$x+20=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁x₂=$\frac{20}{7}$，x₁+x₂=$\frac{12\sqrt{5}}{7}$，
點O到直線的距離為d=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
|MN|=$\sqrt{1+3}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}=\frac{8\sqrt{10}}{7}$，∴△OMN的面積s=$\frac{1}{2}$|MN|•d=$\frac{10\sqrt{6}}{7}$．

點評 本題考查了直線與橢圓的位置關系，及運算能力，屬于中檔題．