Question

已知直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P（0，2），斜率為k，圓Q：x²+y²-12x+32=0，若直線(xiàn)l和圓Q交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，問(wèn)是否存在常數(shù)k，使得

OA

+

OB

與

PQ

共線(xiàn)？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx+2，將l的方程和圓方程聯(lián)解，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及

OA

+

OB

與

PQ

共線(xiàn)，建立關(guān)于k的等式解出k=-

3

4

．再由根的判別式大于零可得-

3

4

＜k＜0，因此不存在常數(shù)k，使得

OA

+

OB

與

PQ

共線(xiàn)．

解答：解：設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx+2，
由

y=kx+2 x2+y2-12x+32=0

消y，可得（1+k²）x²+4（k-3）x+36=0，
∵直線(xiàn)l和圓相交，
∴△=[4（k-3）]²-4×36×（1+k²）＞0，解得-

3

4

＜k＜0．
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由根與系數(shù)的關(guān)系，可得x₁+x₂=-

4(k+3)

1+k2

，x₁x₂=

36

1+k2

．…①
∴y₁+y₂=kx₁+2+kx₂+2=k（x₁+x₂）+4，…②
∵

OA

+

OB

=（x₁+x₂，y₁+y₂），

PQ

=（6，-2）．
若

OA

+

OB

與

PQ

共線(xiàn)，則-2×（x₁+x₂）=6×（y₁+y₂），即（1+3k）（x₁+x₂）+12=0，
代入①②，可得（1+3k）[-

4(k+3)

1+k2

]+12=0，解得k=-

3

4

．
又∵-

3

4

＜k＜0，
∴不存在常數(shù)k，使得

OA

+

OB

與

PQ

共線(xiàn)．

點(diǎn)評(píng)：本題給出經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)與圓的方程，探究使

OA

+

OB

與

PQ

共線(xiàn)的直線(xiàn)是否存在．著重考查了向量共線(xiàn)的條件、直線(xiàn)的方程、圓的方程和直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．