Question

17．設(shè)函數(shù)f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）的圖象與直線y=a在y軸右側(cè)從左到右第n個交點的橫坐標為a_n，且數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，則a的取值集合為{0，2，-2}．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）的圖象是由y=sinx向右平移個$\frac{π}{3}$單位，然后把所得圖象上點的縱坐標不變，橫坐標縮小到原來的$\frac{1}{2}$，再把振幅擴大到原來的2倍得到的，圖象與軸交點的橫坐標相差半個周期的整數(shù)倍，各最大值（或最小值）點的橫坐標相差一個周期的整數(shù)倍．

解答 解：根據(jù)函數(shù)的圖象周期變化的特點，采用驗證的辦法，①取a=0時，直線方程為y=0，圖象為x軸，
函數(shù)f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）的圖象與x軸在y軸右側(cè)第一個交點橫坐標a₁=$\frac{π}{6}$，向右順次加半個周期$\frac{π}{2}$，
所以直線y=0與函數(shù)f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）的圖象在y軸右側(cè)的第n（n∈N^*）個交點的橫坐標為a_n構(gòu)成等差數(shù)列．
②取a=2時，直線方程為y=2，與函數(shù)f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）的圖象在y右側(cè)第一個交點的橫坐標為a₁=$\frac{5π}{12}$，向右順次加一個周期π，
所以直線y=2與函數(shù)f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）的圖象在y軸右側(cè)的第n（n∈N^*）個交點的橫坐標為a_n構(gòu)成等差數(shù)列．
③取a=-2時，直線方程變?yōu)閥=-2，與函數(shù)f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）的圖象在y右側(cè)第一個交點的橫坐標為a₁=$\frac{11}{12}$π，向右順次加一個周期π，
所以直線y=2與函數(shù)f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）的圖象在y軸右側(cè)的第n（n∈N^*）個交點的橫坐標為a_n構(gòu)成等差數(shù)列．
④當a取其它值時，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象特征，數(shù)列{a_n}不是等差數(shù)列．
故a的取值的集合為 {0，2，-2}，
故答案為：{0，2，-2}．

點評 本題考查了等差數(shù)列的概念，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，解決該題的關(guān)鍵是熟悉函數(shù)f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）的圖象，明確圖象上各特殊點之間的關(guān)系，屬于中檔題．