Question

已知函數(shù)f(x)=2

3

cosxsinx+2sin2x(x∈R)，給出下列四個(gè)命題：
①(

π

12

，0)是函數(shù)f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心；
②f（x）的最小正周期是2π；
③f（x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

3

]上是增函數(shù)；
④f（x）的圖象關(guān)于直線x=

π

3

對(duì)稱；
⑤x∈[-

π

4

，

π

3

]時(shí)，f（x）的值域?yàn)?span id="fsvj3jm" class="MathJye">[1-

3

，3]．
其中正確的命題為（　�。�

A．①②④

B．③④⑤

C．②③

D．③④

Answer 1

分析：化簡(jiǎn)原函數(shù)，可得最小正周期為T=π，排除A和C，由三角函數(shù)的性質(zhì)和不等式可得⑤錯(cuò)誤，綜合選項(xiàng)可得答案．

解答：解：化簡(jiǎn)原函數(shù)可得f（x）=

3

sin2x+1-cos2x=2sin（2x-

π

6

）+1，
可得最小正周期為T=π，故②錯(cuò)誤排除A和C
而⑤當(dāng)x∈[-

π

4

，

π

3

]時(shí)，（2x-

π

6

）∈[-

2π

3

，

π

2

]，
故-2≤2sin（2x-

π

6

）≤2，
∴f（x）的值域?yàn)閇-1，3]．故錯(cuò)誤，
故選D

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，涉及函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性以及值域，排除法是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．