Question

函數(shù)y=

2

x-1

的圖象與函數(shù)y=2sinπx（-2≤x≤4）的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象

專題：數(shù)形結(jié)合,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：y=

2

x-1

的圖象是由y=

2

x

的圖象向右平移1個(gè)單位而得，所以它的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）中心對(duì)稱，再由正弦函數(shù)的對(duì)稱中心公式，可得函數(shù)y₂=2sinπx的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心也是點(diǎn)（1，0），故交點(diǎn)個(gè)數(shù)為偶數(shù)，且對(duì)稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為2

解答： 解：函數(shù)y₁=

2

x-1

與y₂=2sinπx的圖象有公共的對(duì)稱中心（1，0），作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖，
當(dāng)1＜x≤4時(shí)，y₁≥

2

3

，
而函數(shù)y₂在（1，4）上出現(xiàn)1.5個(gè)周期的圖象，在(2，

5

2

)上是單調(diào)增且為正數(shù)函數(shù)，
y₂在（1，4）上出現(xiàn)1.5個(gè)周期的圖象，在(

5

2

，3)上是單調(diào)減且為正數(shù)，
∴函數(shù)y₂在x=

5

2

處取最大值為2≥

4

3

，
而函數(shù)y₂在（1，2）、（3，4）上為負(fù)數(shù)與y₁的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，
所以兩個(gè)函數(shù)圖象在（1，4）上有兩個(gè)交點(diǎn)（圖中C、D），
根據(jù)它們有公共的對(duì)稱中心（1，0），可得在區(qū)間（-2，1）上也有兩個(gè)交點(diǎn)（圖中A、B），
并且：x_A+x_D=x_B+x_C=2，故所求的橫坐標(biāo)之和為4，
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)圖象公共的對(duì)稱中心是解決本題的入口，討論函數(shù)y₂=2sinπx的單調(diào)性找出區(qū)間（1，4）上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是本題的難點(diǎn)所在．