Question

已知f（x）=（x+a）e^x．
（1）若y=f（x）在x=0處的切線與直線x-2y-2014=0垂直，求y=f（x）的極值；
（2）設(shè)g（x）=x²-4x-3，若對任意的x∈[0，1]，都存在s，t∈[-1，3]使得g（s）≤f（x）≤g（t）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，利用y=f（x）在x=0處的切線與直線x-2y-2014=0垂直，求出a的值，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求y=f（x）的極值；
（2）求出f（x），g（x）的值域，利用對任意的x∈[0，1]，都存在s，t∈[-1，3]使得g（s）≤f（x）≤g（t）恒成立，建立不等式，即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=（x+a）e^x，
∴f′（x）=（x+a+1）e^x，
∴f′（0）=a+1，
∵y=f（x）在x=0處的切線與直線x-2y-2014=0垂直，
∴a+1=-2，
∴a=-3，
∴f（x）=（x-3）e^x，f′（x）=（x-2）e^x，
∴x＜2時，f′（x）＜0，x＞2時，f′（x）＞0，
∴x=2時，函數(shù)取得極小值為-e²；
（2）由（1）知，函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，
∴（1+a）e≤f（x）≤a，
∵g（x）=x²-4x-3，x∈[-1，3]，
∴-7≤g（x）≤2，
∵對任意的x∈[0，1]，都存在s，t∈[-1，3]使得g（s）≤f（x）≤g（t）恒成立，
∴-7≤（1+a）e且a≤2，
∴-

7

e

-1≤a≤2．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的極值，考查函數(shù)的最值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．