Question

某產品原來的成本為1000元/件，售價為1200元/件，年銷售量為1萬件．由于市場飽和顧客要求提高，公司計劃投入資金進行產品升級．據市場調查，若投入x萬元，每件產品的成本將降低

3x

4

元，在售價不變的情況下，年銷售量將減少

2

x

萬件，按上述方式進行產品升級和銷售，扣除產品升級資金后的純利潤記為f（x）（單位：萬元 ）．
（1）求f（x）的函數解析式；
（2）求f（x）的最大值，以及f（x）取得最大值時x的值．

Answer 1

分析：（1）求出產品升級后每件的成本、利潤及年銷售量，則利潤的函數表達式可求；
（2）利用基本不等式求出f（x）的最大值．

解答：解：（1）依題意，產品升級后，每件的成本為1000-

3x

4

元，利潤為200+

3x

4

元，
年銷售量為1-

2

x

萬件，
純利潤為f(x)=(200+

3x

4

)(1-

2

x

)-x，
=198.5-

400

x

-

x

4

（萬元）；
（2）f(x)=198.5-

400

x

-

x

4

≤198.5-2×

400 x × x 4

，
=178.5．
等號當且僅當

400

x

=

x

4

，
即x=40（萬元）．
即最大值時的x的值為40

點評：本題考查了函數模型的選擇及應用，訓練了簡單的建模思想方法，考查了利用基本不等式求最值，是中檔題．