Question

11．已知函數(shù)f（x）=sin2ωx+cos2ωx．（ω＞0）的最小正周期為4π，
（Ⅰ）求ω的值及函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)向右平行移動(dòng)$\frac{π}{4}$個(gè)單位長(zhǎng)度，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）在$[{\frac{π}{4}，\frac{7π}{4}}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用兩角和的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得解析式：f（x）=$\sqrt{2}$sin（2ωx+$\frac{π}{4}$），由周期公式可求ω，解得函數(shù)解析式，由$2kπ+\frac{π}{2}≤\frac{1}{2}x+\frac{π}{4}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z^*，即可解得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（Ⅱ）由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律可得解析式$g（x）=\sqrt{2}sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{8}）$，由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求得函數(shù)g（x）在$[{\frac{π}{4}，\frac{7π}{4}}]$上的最大值和最小值．

解答 （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）因?yàn)?f（x）=sin2ωx+cos2ωx=\sqrt{2}sin（{2ωx+\frac{π}{4}}）$，（公式2分）
又因?yàn)?T=\frac{2π}{2ω}=4π$，
所以$ω=\frac{1}{4}$；（公式（2分），結(jié)論1分）--------------------------------------------（5分）
解得：$f（x）=\sqrt{2}sin（{\frac{1}{2}x+\frac{π}{4}}）$．
當(dāng)$2kπ+\frac{π}{2}≤\frac{1}{2}x+\frac{π}{4}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z^*，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，----------（6分）
所以，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為$[{\frac{π}{2}+4kπ，\;\;\frac{5π}{2}+4kπ}]$k∈Z^*．-----------------（8分）
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)向右平行移動(dòng)$\frac{π}{4}$個(gè)單位長(zhǎng)度，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，$g（x）=\sqrt{2}sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{8}）$，-----------------（10分）
g（x）在$[{\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}}）$上單調(diào)遞增，在$[{\frac{3π}{4}，\frac{7π}{4}}]$上單調(diào)遞減，$g（\frac{π}{4}）=1$，$g（\frac{7π}{4}）=0$，
所以g（x）在$[{\frac{π}{4}，\frac{7π}{4}}]$上最大值為$g（\frac{3π}{4}）=\sqrt{2}$，最小值為$g（\frac{7π}{4}）=0$．
（單調(diào)性（1分），結(jié)論各1分）--------------（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了兩角和的正弦函數(shù)公式，周期公式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．