Question

極坐標系與直角坐標系xOy有相同的長度單位，以原點為極點，以x鈾正半軸為極軸，已知曲線C₁的極坐標方程為ρ=4cosθ，曲線C₂的參數(shù)方程為

x=m+tcosα y=tsinα

（t為參數(shù)，0≤α＜π），射線θ=φ，θ=φ+

π

4

，θ=φ-

π

4

與曲線C₁交于（不包括極點O）三點A、B、C．
（Ⅰ）求證：|OB|+|OC|=

2

|OA|；
（Ⅱ）當φ=

π

12

時，B，C兩點在曲線C₂上，求m與α的值．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：（I）設(shè)三點A、B、C的極坐標分別為（ρ₁，φ），(ρ2，φ+

π

4

)，(ρ3，φ-

π

4

)．把三點A、B、C代入曲線C₁即可證明；
（II）由C₂的方程知C₂的傾斜角為α，過定點（m，0）．當φ=

π

12

時，得出B，C的極坐標，化為直角坐標，再利用斜率計算公式和點斜式即可得出．

解答： 解：（I）設(shè)三點A、B、C的極坐標分別為（ρ₁，φ），(ρ2，φ+

π

4

)，(ρ3，φ-

π

4

)．φ
∵三點A、B、C在曲線C₁上，
∴ρ₁=4cosφ，ρ2=4cos(φ+

π

4

)，ρ3=4cos(φ-

π

4

)．
∴|OB|+|OC|=ρ₂+ρ₃=4cos(φ+

π

4

)+4cos(φ-

π

4

)=4

2

cosφ=

2

ρ₁，
∴|OB|+|OC|=

2

|OA|；
（II）由C₂的方程知C₂的傾斜角為α，過定點（m，0）．
當φ=

π

12

時，B，C的極坐標分別為(2，

π

3

)，(2

3

，-

π

6

)．
化為直角坐標為B(1，

3

)，C(3，-

3

)．
∴斜率k=tanα=-

3

，
∵0≤α＜π，
∴α=

2π

3

．
直線C₂的方程為：y-

3

=-

3

(x-1)，
令y=0，解得x=2，
∴m=2．

點評：本題考查了極坐標方程的應(yīng)用、極坐標與直角坐標直角的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．