Question

11．如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為邊長為2對的菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點(diǎn)．
（1）判定AE與PD是否垂直，并說明理由；
（2）若PA=2，求二面角E-AF-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）判斷垂直．證明AE⊥BC．PA⊥AE．推出AE⊥平面PAD，然后證明AE⊥PD．
（2）由（1）知AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面AEF的一個法向量，平面AFC的一個法向量．通過向量的數(shù)量積求解二面角的余弦值．

解答 解：（1）垂直．
證明：由四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，
可得△ABC為正三角形．
因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以AE⊥BC．
又BC∥AD，因此AE⊥AD．
因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
所以PA⊥AE．
而PA?平面PAD，AD?平面PAD且PA∩AD=A，
所以AE⊥平面PAD，又PD?平面PAD，
所以AE⊥PD．（6分）
（2）由（1）知AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又E，F(xiàn)分別為BC，PC的中點(diǎn)，∴A（0，0，0），$B（\sqrt{3}，-1，0）$，$C（\sqrt{3}，1，0）$，D（0，2，0），P（0，0，2），$E（\sqrt{3}，0，0）$，$F（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}，1）$，
所以$\overrightarrow{AE}=（\sqrt{3}，0，0）$，$\overrightarrow{AF}=（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}，1）$．
設(shè)平面AEF的一個法向量為$\overrightarrow m=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，則$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow m•\overrightarrow{AE}=0}\\{\overrightarrow m•\overrightarrow{AF}=0}\end{array}}\right.$，
因此$\left\{{\begin{array}{l}{\sqrt{3}{x_1}=0}\\{\frac{{\sqrt{3}}}{2}{x_1}+\frac{1}{2}{y_1}+{z_1}=0}\end{array}}\right.$，取z₁=-1，則$\overrightarrow m=（0，2，-1）$．（9分）
因?yàn)锽D⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，
所以BD⊥平面AFC，故$\overrightarrow{BD}$為平面AFC的一個法向量．
又$\overrightarrow{BD}=（-\sqrt{3}，3，0）$，所以$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow{BD}＞=\frac{{\overrightarrow m•\overrightarrow{BD}}}{{|{\overrightarrow m}|•|{\overrightarrow{BD}}|}}=\frac{2×3}{{\sqrt{5}×\sqrt{12}}}=\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．（11分）
因?yàn)槎�面角E-AF-C為銳角，所以所求二面角的余弦值為$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．（12分）

點(diǎn)評 本題考查直線與平面垂直的判定定理以及性質(zhì)定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力以及計算能力．