Question

如圖，在△ABC中，D是邊AC的中點(diǎn)，且AB=AD=1，BD=

2 3

3

．
（1）求cosA的值；
（2）求sinC的值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由余弦定理列出關(guān)系式，將AB，AD，BD的長(zhǎng)代入求出cosA的值即可；
（2）由cosA的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinA的值，根據(jù)D為AC中點(diǎn)，得到AC=2AD，求出AC的長(zhǎng)，利用余弦定理表示出cosA，將AB，AC代入求出BC的長(zhǎng)，再由AB，BC，sinA的值，利用正弦定理即可求出sinC的值．

解答： 解：（1）在△ABD中，AB=AD=1，BD=

2 3

3

，
∴cosA=

AB2+AD2-BD2

2AB•AD

=

1+1- 4 3

2×1×1

=

1

3

；
（2）由（1）知，cosA=

1

3

，且0＜A＜π，
∴sinA=

1-cos2A

=

2 2

3

，
∵D是邊AC的中點(diǎn)，
∴AC=2AD=2，
在△ABC中，cosA=

AB2+AC2-BC2

2AB•AC

=

1+4-BC2

4

=

1

3

，
解得：BC=

33

3

，
由正弦定理

BC

sinA

=

AB

sinC

得，sinC=

ABsinA

BC

1× 2 2 3

33 3

=

2 66

33

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．