Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x）•f（-x）=1，f（1+x）•f（1-x）=4，當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）的值域為[1，2]，a_k=f（x）_minx∈[2k，2k+2]（k∈N），則

lim

n→∞

n

k=0

1

ak

=（　　）

• A．1
• B．

  3

  2

• C．

  4

  3

• D．

  5

  4

Answer 1

分析：由已知函數(shù)關(guān)系可得，f（x+2）=4f（x），結(jié)合x∈[0，1]時，f（x）的值域可求x∈[-1，0]，進(jìn)而可求x∈[1，2]的值域，利用此規(guī)律可求{a_n}是以1為首項，以4為公比的等比數(shù)列，代入等比數(shù)列的求和公式可求和，進(jìn)而可求極限

解答：解：∵f（1+x）•f（1-x）=4，
∴f（1+x）=

4

f(1-x)

令1-x=t可得f（t）=

4

f(2-t)

①
∵f（x）f（-x）=1
∴f（x）=

1

f(-x)

即f（t）=

1

f(-t)

②
①②可得f（t+2）=4f（t）
∴f（x+2）=4f（x）
x∈[0，1]時，f（x）的值域為[1，2]，
設(shè)x∈[-1，0]，則-x∈[0，1]，則f（x）=

1

f(-x)

∈[

1

2

，1]
所以，x+2∈[1，2]，f（x+2）=4f（x）∈[2，4]，以此類推可得，區(qū)間每增加2個長度，值域變?yōu)樯弦粎^(qū)間的4倍
∵a_k=f（x）_min，x∈[2k，2k+2]
∴a₁=f（x）_min，x∈[0，2]
即a₁=1
∴{a_n}是以1為首項，以4為公比的等比數(shù)列
∴an=4n-1
∴

lim

n→∞

n

k=0

1

ak

=

lim

n→∞

(1+

1

4

+

1

42

+…+

1

4n-1

)
=

lim

n→∞

1- 1 4n

1- 1 4

=

lim

n→∞

4(1- 1 4n )

3

=

4

3

故答案為：

4

3

點評：本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，等比數(shù)列的求和公式及數(shù)列極限的求解，試題具有一定的綜合性