Question

某高店代銷某工廠生產(chǎn)的一種商品，利潤(rùn)按銷售額的10%提成，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查：若該商品以50元一個(gè)出售，則每月銷售量1萬(wàn)個(gè)，若售價(jià)每提高2元，則銷售量在上次的基礎(chǔ)上下降三個(gè)百分點(diǎn)．設(shè)以售價(jià)為52元出售為第一次提價(jià)，以后每次提價(jià)都在原來的售價(jià)上提高2元．
（1）求第n次提價(jià)的月銷售額a_n；
（2）要使商店的月利潤(rùn)最大，進(jìn)行幾次提價(jià)最好？

Answer 1

分析：（1）由題意知：第n次提價(jià)的單價(jià)為50+2n，n∈N^*，第n次提價(jià)的月銷售量為1×（1-3%）ⁿ，n∈N^*，由此能求出第n次提價(jià)的月銷售額a_n．
（2）月利潤(rùn)表示為：a_n•10%，要使得a_n•10%最大，只需a_n最大，則

an≥an+1 an≥an-1

，由此能求出結(jié)果．

解答：解：（1）由題意知：第n次提價(jià)的單價(jià)為
50+2n，n∈N^*，
第n次提價(jià)的月銷售量為1×（1-3%）ⁿ，n∈N^*，
∴第n次提價(jià)的月銷售額a_n=（50+2n）×（1-3%）ⁿ=（50+2n）（97%）ⁿ（萬(wàn)元）．
（2）月利潤(rùn)表示為：a_n•10%，
要使得a_n•10%最大，只需a_n最大，
則

an≥an+1 an≥an-1

，即

(50+2n)(97%)n≥(52+2n)(97%)n+1 (50+2n)(97%)n≥(48+2n)(97%)n-1

，
解得

22

3

≤n≤

25

3

，n∈N^*，
∴當(dāng)n=8，即提價(jià)8次時(shí)月利潤(rùn)最大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)在生產(chǎn)生活中的實(shí)際應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．