Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=，a₂=，a_n+1=2a_n-a_n-1（n≥2，n∈N^*），數(shù)列{b_n}滿足b₁＜0，3b_n-b_n-1=n（n≥2，n∈N^*），數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項a_n．
（2）求證：數(shù)列{b_n-a_n}為等比數(shù)列．

Answer 1

【答案】分析：（1）2a_n=a_n+1+a_n-1，根據(jù)等差數(shù)列的定義可知∴{a_n}是等差數(shù)列．根據(jù)a₁和a₂，求得公差，則數(shù)列{a_n}的通項a_n可得．
（2）把a_n和b_n代入b_n+1-a_n+1進而化簡整理b_n+1-a_n+1=（b_n-a_n），進而可判斷∴{b_n-a_n}是以b₁-為首項，以為公比的等比數(shù)列．
解答：解：（1）證明∵2a_n=a_n+1+a_n-1（n≥2，n∈N^*），
∴a_n+1-a_n=a_n-a_n-1
∴{a_n}是等差數(shù)列．
又∵a₁=，a₂=，∴a_n=+（n-1）•=，
（2）證明：∵b_n=b_n-1+（n≥2，n∈N^*），
∴b_n+1-a_n+1=b_n+-=b_n-
=（b_n-）=（b_n-a_n）．
又∵b₁-a₁=b₁-≠0，
∴{b_n-a_n}是以b₁-為首項，以為公比的等比數(shù)列．
點評：本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式和等比關系的確定．考查了學生綜合把握數(shù)列基礎知識．