設(shè)函數(shù)f （x）=ax 2+8x+3 （a＜0）．對(duì)于給定的負(fù)數(shù)a，有一個(gè)最大的正數(shù)l（a），使得在整個(gè) 區(qū)間[0，l（a）]上，不等式|f （x）|≤5都成立．
問(wèn)：a為何值時(shí)l（a）最大？求出這個(gè)最大的l（a）．證明你的結(jié)論．
分析：利用配方法通過(guò)函數(shù)的最小值的討論，求出最大值的表達(dá)式，通過(guò)對(duì)數(shù)不等式，求出最大的正數(shù)l（a）．
解答：解：f（x）=a（x+
4
a
）2+3-
16
a
．
（1）當(dāng)3-
16
a
＞5，即-8＜a＜0時(shí)，
l（a）是方程ax2+8x+3=5的較小根，故l（a）=
-8+
64+8a
2a
．
（2）當(dāng)3-
16
a
≤5，即a≤-8時(shí)，
l（a）是方程ax2+8x+3=-5的較大根，故l（a）=
-8-
64-32a
2a
．
綜合以上，l（a）=
-8-
64-32a
2a
，(a≤-8)
-8+
64+8a
2a
(-8＜a＜0

當(dāng)a≤-8時(shí)，l（a）=
-8+
64-32a
2a
=
4
4-2a
-2
≤
4
20
-2
=
1+
5
2
；
當(dāng)-8＜a＜0時(shí)，l（a）=
-8+
64+8a
2a
=
2
16+2a
+4
＜
2
4
＜
1+
5
2
．
所以a=-8時(shí)，l（a）取得最大值
1+
5
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題考利用類(lèi)討論思想，求解二次函數(shù)的最大值，考查函數(shù)與方程的思想，分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，難度較大．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=A+Bsinx，若B＜0時(shí)，f（x）的最大值是
3
2
，最小值是-
1
2
，則A=
 
，B=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=
a
•
b
其中向量
a
=（2cosx，1），b=(cosx，
3
sin2x+m)．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[0，
π
6
]時(shí)，f（x）的最大值為4，求m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=a+bcosx+csinx的圖象過(guò)點(diǎn)（0，1）和點(diǎn)(
π
2
，1)，當(dāng)x∈[0，
π
2
]時(shí)，|f（x）|＜2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�
A、-
2
＜a≤1
B、1≤a＜4+3
2
C、-
2
＜a＜4+3
2
D、-a＜a＜2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=
a
•
b
，其中向量
a
=（2cosx，1），
b
=（cosx，-1）（x∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若f（A）=-
1
2
，且a=
3
，b+c=3，（b＞c），求b與c的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=（sinωx+cosωx，sinωx）
b
=（sinωx-cosωx，2
3
cosωx），設(shè)函數(shù)f（x）=
a
•
b
（x∈R）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=
π
3
對(duì)稱(chēng)，其中常數(shù)ω∈（0，2）
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移
π
12
個(gè)單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，用五點(diǎn)法作出函數(shù)g（x）在區(qū)間[-
π
2
，
π
2
]的圖象．

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