Question

15．已知函數(shù)f（x）=ax³-bx²+cx+b-a（a＞0，b，c∈R）
（1）設(shè)c=0
①若a=b，f（x）在x=x₀處的切線過(guò)點(diǎn)（1，0），求x₀的值；
②若a＞b，求f（x）在區(qū)間[0，1]上的最大值．
（2）設(shè)f（x）在x=x₁，x=x₂兩處取得極值，求證：f（x₁）=x₁，f（x₂）=x₂不同時(shí)成立．

Answer 1

分析 （1）①求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，可得切線方程，代入點(diǎn)（1，0），即可得到所求值；
②若a＞b，c=0，求出導(dǎo)數(shù)，討論b，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求得最大值；
（2）運(yùn)用反證法證明．假設(shè)存在a，b，使得f（x₁）=x₁，f（x₂）=x₂同時(shí)成立．設(shè)x₁＜x₂，則f（x₁）＜f（x₂），根據(jù)極值和二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到矛盾，進(jìn)而得證．

解答 （1）解：①若a=b，c=0，則f（x）=a（x³-x²），f′（x）=a（3x²-2x），
f（x）在x=x₀處的切線斜率為k=a（3x₀²-2x₀），
則切線方程為y-a（x₀³-x₀²）=a（3x₀²-2x₀）（x₀-1），
又切線過(guò)點(diǎn)（1，0），則a（3x₀²-2x₀）（x₀-1）=a（x₀³-x₀²），
解得x₀=0或1；
②若a＞b，c=0，則f′（x）=3ax²-2bx=3ax（x-$\frac{2b}{3a}$），
可得x=0或x=$\frac{2b}{3a}$＜1，
若b≤0，則f′（x）≥0，f（x）為（0，1]上的增函數(shù)，f（x）的最大值為：f（1）=0，
若b＞0，在（0，$\frac{2b}{3a}$）上f′（x）＜0，f（x）遞減；
在（$\frac{2b}{3a}$，1）上f′（x）＞0，f（x）遞增．
f（0）=b-a＜0，f（1）=0，
則有f（x）的最大值為f（1）=0．
綜上可得，f（x）在區(qū)間[0，1]上的最大值為0；
（2）證明：假設(shè)存在a，b，使得f（x₁）=x₁，f（x₂）=x₂同時(shí)成立．
設(shè)x₁＜x₂，則f（x₁）＜f（x₂），
由f（x）在x=x₁，x=x₂兩處取得極值，
則f′（x）=3ax²-2bx+c=3a（x-x₁）（x-x₂）（a＞0），
由x₁＜x＜x₂，f′（x）＜0，f（x）為（x₁，x₂）內(nèi)的減函數(shù)，
則有f（x₁）＞f（x₂），
這與f（x₁）＜f（x₂）矛盾．
故f（x₁）=x₁，f（x₂）=x₂不同時(shí)成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間和極值，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，運(yùn)用分類討論的思想方法和反證法的思想是解題的關(guān)鍵．