Question

函數(shù)，下列結(jié)論不正確的（　　）

A．此函數(shù)為偶函數(shù)

B．此函數(shù)是周期函數(shù)

C．此函數(shù)既有最大值也有最小值

D．方程f[f（x）]=1的解為x=1

 

Answer 1

D

【解析】A．若x為有理數(shù)，則﹣x也為有理數(shù)，∴f（﹣x）=f（x）=1，

若x為無理數(shù)，則﹣x也無有理數(shù)，∴f（﹣x）=f（x）=π，∴恒有f（﹣x）=f（x），∴函數(shù)f（x）為偶函數(shù)．∴A正確．

B．設(shè)T為一個(gè)正數(shù)．當(dāng)T為無理數(shù)時(shí)，有f（0）=1，f（0+T）=f（T）=π，∴f（0）=f（0+T）不成立，∴T不可能是f（x）的周期；

當(dāng)T為有理數(shù)時(shí)，若x為有理數(shù)，易知x+kT（k為整數(shù)）還是有理數(shù)，有f（x+T）=f（x），

若x為無理數(shù)，易知x+kT（k為整數(shù)）還是無理數(shù)，仍有f（x+T）=f（x）．綜上可知，任意非0有理數(shù)都是f（x）的周期．此命題也是對(duì)的．

C．由分段 函數(shù)的表達(dá)式可知，當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，f（x）=1，當(dāng)x為無理數(shù)時(shí)，f（x）=π，

∴函數(shù)的最大值為π，最小值為1，∴C正確．

D．當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，f（x）=1，則f[f（x）]=f（1）=1，此時(shí)方程成立．

當(dāng)x為無理數(shù)時(shí)，f（x）=π，則f[f（x）]=f（π）=π，∴D錯(cuò)誤．

故選：D．