Question

10．已知函數(shù)y=f（n）滿足f（1）=1，f（n+1）=f（n）+2n，n∈N^*．
（1）求f（2），f（3），f（4），f（5）；
（2）探索f（n+1）-f（n）有何規(guī)律，能否根據(jù)規(guī)律寫出y=f（n）的一個解析式．

Answer 1

分析 （1）由f（n+1）-f（n）=2n，將n的值代入表達(dá)式，求出即可；
（2）由f（n+1）-f（n）=2n令n=1，2，…，等式相加，可以得到f（n）-f（1）的表達(dá)式，用等差數(shù)列公式可以得到f（n）．

解答 解：（1）∵f（1）=1，且f（n+1）=f（n）+2n，n∈N₊，
∴f（2）=f（1）+2=3，
f（3）=f（2）+4=7，
f（4）=f（3）+6=13，
f（5）=f（4）+8=21；
（2）由f（n+1）=f（n）+2n，
得：f（n+1）-f（n）=2n，
得：f（2）-f（1）=2，f（3）-f（2）=2×2，
f（4）-f（3）=2×3，f（5）-f（4）=2×4，
f（n）-f（n-1）=2•（n-1），
把這些等式相加，可以得到
f（n）-f（1）
=2+2×2+2×3+2×4+、+2•（n-1），
用等差數(shù)列公式可以得到，
f（n）=n²-（n+1）．

點評 本題考查了求函數(shù)值問題，求函數(shù)表達(dá)式問題，考查等差數(shù)列的應(yīng)用，是一道中檔題．