Question

設(shè)函數(shù).

（1）用反證法證明：函數(shù)不可能為偶函數(shù)；

（2）求證：函數(shù)在上單調(diào)遞減的充要條件是.

 

Answer 1

(1)祥見解析；(2) 祥見解析．

【解析】

試題分析：(1)反證法證明的一般步驟是：先假設(shè)結(jié)論不正確，從而肯定結(jié)論的反面一定成立，在此基礎(chǔ)上結(jié)合題目已知條件，經(jīng)過正確的推理論證得到一個(gè)矛盾，從而得到假設(shè)不成立，所以結(jié)論正確；此題只需假設(shè)假設(shè)函數(shù)是偶函數(shù)，既然是偶函數(shù)，則對定義域內(nèi)的一切x都有成立，那么我們?yōu)榱苏f明假設(shè)不成立，即 不可能成立，只需任取一個(gè)特殊值代入檢驗(yàn)即可；(2)由于是證明函數(shù)在上單調(diào)遞減的充要條件是：；應(yīng)分充分性和必要性兩個(gè)方面來加以證明，先證充分性：來證明一定成立；再證必要性：由函數(shù)在上單調(diào)遞減在上恒成立，來證明即可，注意已知中的這一條件．

試題解析：(1)假設(shè)函數(shù)是偶函數(shù)， 2分

則，即，解得， 4分

這與矛盾，所以函數(shù)不可能是偶函數(shù). 6分

(2)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719553773698272/SYS201411171955432528199062_DA/SYS201411171955432528199062_DA.015.png">，所以. 8分

①充分性：當(dāng)時(shí)，，

所以函數(shù)在單調(diào)遞減； 10分

②必要性：當(dāng)函數(shù)在單調(diào)遞減時(shí)，

有，即，又，所以. 13分

綜合①②知，原命題成立. 14分

（說明：用函數(shù)單調(diào)性的定義證明的，類似給分；用反比例函數(shù)圖象說理的，適當(dāng)扣分）

考點(diǎn)：１．反證法；２．函數(shù)的單調(diào)性；３．充要性的證明．