Question

已知正實(shí)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足c＞a，c＞b，且

1

a

+

9

b

=1，若a，b，c可構(gòu)成某三角形的三邊長(zhǎng)，則c的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：由于正實(shí)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足c＞a，c＞b，且a，b，c可構(gòu)成某三角形的三邊長(zhǎng)，可得

a+b

2

＜c＜a+b．再利用“乘1法”和基本不等式即可得出．

解答： 解：∵正實(shí)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足c＞a，c＞b，且a，b，c可構(gòu)成某三角形的三邊長(zhǎng)，
∴

a+b

2

＜c＜a+b．
∵

1

a

+

9

b

=1，a，b＞0．
∴a+b=(a+b)(

1

a

+

9

b

)=10+

b

a

+

9a

b

≥10+2

b a • 9a b

=16，當(dāng)且僅當(dāng)b=3a=12時(shí)取等號(hào)．
∴8＜c＜16．
因此c的取值范圍是（8，16）．
故答案為：（8，16）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的三邊大小關(guān)系、“乘1法”和基本不等式，屬于中檔題．