Question

若對任意的實數(shù)m，n，都有f（m）+f（n）=f（m+n），且f（1007）=2，則f（1）+f（3）+f（5）+…+f（2013）=

 

．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)條件推導(dǎo)函數(shù)取值規(guī)律單調(diào)遞減區(qū)間為f（x）+f（2014-x）=f（2014）=4，根據(jù)規(guī)律性進行求和．

解答： 解：∵f（1007）=2，
∴f（1007）+f（1007）=4
∵f（m）+f（n）=f（m+n）
∴f（1007）+f（1007）=f（2014）=4
即f（1）+f（2013）=f（2014）=4
f（3）+f（2011）=f（2014）=4
…
即f（x）+f（2014-x）=f（2014）=4，
設(shè)f（1）+f（3）+f（5）+…+f（2013）=a，
則f（2013）+f（2011）+…+f（1）=a，
則2a=1007[f（1）+f（2013）]=1007×4
即a=2014．
故答案為：2014．

點評：本題主要考查函數(shù)求值問題，根據(jù)抽象函數(shù)的條件得到f（x）+f（2014-x）=f（2014）=4，是解決本題的關(guān)鍵．