Question

已知橢圓

x2

4

+y²=1經(jīng)過點（1，

3

2

），且一個焦點為（

3

，0）．若直線y=k（x-1）（k≠0）與x軸交于點P，與橢圓C交于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點Q，求

|AB|

|PQ|

的取值范圍．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：聯(lián)立直線和橢圓方程，利用根與系數(shù)關系求出A，B橫縱坐標的和與積，進一步求得AB的垂直平分線方程，求得Q的坐標，由兩點間的距離公式求得|PQ|，由弦長公式求得|AB|，作比后求得

|AB|

|PQ|

的取值范圍．

解答： 解：直線y=k（x-1）（k≠0），代入橢圓方程，得（1+4k²）x²-8k²x+4k²-4=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則有x₁+x₂=

8k2

1+4k2

，x₁x₂=

4k2-4

1+4k2

，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=

-2k

1+4k2

．
∴線段AB的中點坐標為（

4k2

1+4k2

，

-k

1+4k2

），
∴線段AB的垂直平分線方程為y-

-k

1+4k2

=-

1

k

（x-

4k2

1+4k2

）．
取y=0，得x=

3k2

1+4k2

，
于是，線段AB的垂直平分線與x軸的交點Q（

3k2

1+4k2

，0），
又點P（1，0），
∴|PQ|=|1-

3k2

1+4k2

|=

1+k2

1+4k2

．
又|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

4 (1+k2)(1+3k2)

1+4k2

．
于是，

|AB|

|PQ|

=4

3- 2 1+k2

．
∵k≠0，
∴1＜3-

2

1+k2

＜3．
∴

|AB|

|PQ|

的取值范圍為（4，4

3

）．

點評：本題考查直線與橢圓的位置關系的應用，直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關系求解，是處理這類問題的最為常用的方法．