Question

已知函數(shù)f（x）=

2

sin2x+

2

cos2x．
（1）求函數(shù)f（x）最大值和單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知△ABC外接圓半徑R=

3

，f（

A

2

-

π

8

）+f（

B

2

+

π

8

）=4

6

sinAsinB，角A，B所對的邊分別是a，b，求a+b的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的定義域和值域,余弦定理

專題：解三角形

分析：（1）對函數(shù)解析式化簡，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最大值和遞增區(qū)間．
（2）根據(jù)已知等式求得sinA和sinB的關(guān)系式，再利用正弦定理轉(zhuǎn)化為a和b的關(guān)系式，最后利用基本不等式求得a+b的最小值．

解答： 解：（1）f（x）=

2

sin2x+

2

cos2x=2sin（2x+

π

4

），
∴f（x）_max=2，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

（k∈Z），
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]（k∈Z）．
（2）依題意知2sin（A-

π

4

+

π

4

）+2sin（B+

π

4

+

π

4

）=2sinA+2cosB=4

6

sinAsinB，
∴

1

sinA

+

1

sinB

=2

6

，
∵△ABC外接圓半徑R=

3

∴

1

sinA

=

2 3

a

，sinB=

2 3

b

，
∴

2 3

a

+

2 3

b

=2

6

∴a+b=

2

ab，
∵ab≤

(a+b)2

4

，
∴

a+b≤

2

(a+b)2

4

，求得a+b≥2

2

，a=b時取等號．
即a+b的最小值為2

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理的運(yùn)用．考查了學(xué)生基礎(chǔ)知識的綜合運(yùn)用能力．