在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量
m
=（2sinB，
3
+1-cos2B），
n
=（1+sinB，-1），若
m
⊥
n

（1）求角B的大��；
（2）若b=
3
，a=1，求△ABC的面積．
分析：（1）由兩個向量的坐標，以及向量垂直時滿足的關(guān)系，列出關(guān)系式，利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，整理求出sinB的值，由B為三角形內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；
（2）由B的度數(shù)確定出sinB的值，再由b與a的值，利用正弦定理求出sinA的值，確定出A的度數(shù)，進而求出C的度數(shù)，即可求出三角形的面積．
解答：解：（1）∵向量
m
=（2sinB，
3
+1-cos2B），
n
=（1+sinB，-1），且
m
⊥
n
，
∴2sinB+2sin2B+cos2B-
3
-1=0，即2sinB-
3
=0，
∴sinB=
3
2
，
∴B=
π
3
或B=
2π
3
；
（2）①若B=
π
3
時，b=
3
，a=1，
由正弦定理
b
sinB
=
a
sinA
得：
3
3
2
=
1
sinA
，即sinA=
1
2
，
∵a＜b，∴A＜B，
∴A=
π
6
，即C=
π
2
，
∴S△ABC=
1
2
ab=
3
2
；
②若B=
2π
3
時，b=
3
，a=1，
由正弦定理
b
sinB
=
a
sinA
得：sinA=
asinB
b
=
1
2
，
∴A=
π
6
，
∴C=
π
6
，
∴S△ABC=
1
2
absinC=
3
4
．
點評：此題考查了正弦定理，平面向量的數(shù)量積運算，以及三角形的面積公式，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，若b2+c2-a2=
3
bc，且b=
3
a，則下列關(guān)系一定不成立的是（　�。�
A、a=c
B、b=c
C、2a=c
D、a2+b2=c2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知B=60°，cos（B+C）=-
1114
．
（1）求cosC的值；
（2）若bcosC+acosB=5，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且bsinA=
3
acosB．
（1）求角B的大��；
（2）若a=4，c=3，D為BC的中點，求△ABC的面積及AD的長度．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c并且滿足
b
a
=
sinB
cosA
．
（1）求∠A的值；
（2）求用角B表示
2
sinB-cosC，并求它的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，且a=
5
，b=3，sinC=2sinA，則sinA=
 
．

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