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定義：如果函數y=f（x）在區(qū)間[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），滿足f(x0)=
f(b)-f(a)b-a
，則稱x0是函數y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的一個均值點．已知函數f（x）=-x2+mx+1在區(qū)間[-1，1]上存在均值點，則實數m的取值范圍是
（0，2）
（0，2）
．
分析：函數f（x）=-x2+mx+1是區(qū)間[-1，1]上的平均值函數，故有-x2+mx+1=
f(1)-f(-1)
1-(-1)
在（-1，1）內有實數根，求出方程的根，讓其在（-1，1）內，即可求出實數m的取值范圍．
解答：解：∵函數f（x）=-x2+mx+1在區(qū)間[-1，1]上存在均值點，
∴關于x的方程-x2+mx+1=
f(1)-f(-1)
1-(-1)
在（-1，1）內有實數根．
由-x2+mx+1=
f(1)-f(-1)
1-(-1)
⇒x2-mx+m-1=0，解得x=m-1，x=1．
又1∉（-1，1），
∴x=m-1必為均值點，即-1＜m-1＜1⇒0＜m＜2．
∴所求實數m的取值范圍是（0，2），
故答案為：（0，2）．
點評：本題主要是在新定義下考查二次方程根的問題．在做關于新定義的題目時，一定要先認真的研究定義理解定義，再按定義做題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

定義：如果函數y=f（x）在定義域內給定區(qū)間[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），滿足f(x0)=
f(b)-f(a)b-a
，則稱函數y=f（x）是[a，b]上的“平均值函數”，x0是它的一個均值點．如y=x4是[-1，1]上的平均值函數，0就是它的均值點．現有函數f（x）=-x2+mx+1是區(qū)間[-1，1]上的平均值函數，則實數m的取值范圍是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

定義：如果函數y=f（x）在定義域內給定區(qū)間[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），滿足f（x0）=
f(b)-f(a)b-a
，則稱函數y=f（x）是[a，b]上的“平均值函數”，x0是它的一個均值點．如y=x4是[-1，1]上的平均值函數，0就是它的均值點．
（1）判斷函數f（x）=-x2+4x在區(qū)間[0，9]上是否為平均值函數？若是，求出它的均值點；若不是，請說明理由；
（2）若函數f（x）=-x2+mx+1是區(qū)間[-1，1]上的平均值函數，試確定實數m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

定義：如果函數y=f（x）（x∈D）滿足（1）f（x）在D上是單調函數；（2）存在閉區(qū)間|a，b|⊆D，使f（x）在區(qū)間[a，b]上值域也是[a，b]，則稱f（x）為閉函數，則下列函數：
（1）f（x）=x2+2x，x∈[-1，+∞）；（2）f（x）=x3，x∈[-2，3]；（3）f（x）=lgx，x∈[1，+∝）
其中是閉函數的是
（1）（2）
（1）（2）
．（只填序號）

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

定義：如果函數y=f（x）在定義域內給定區(qū)間[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），滿足f（x0）=數學公式，則稱函數y=f（x）是[a，b]上的“平均值函數”，x0是它的一個均值點．如y=x4是[-1，1]上的平均值函數，0就是它的均值點．
（1）判斷函數f（x）=-x2+4x在區(qū)間[0，9]上是否為平均值函數？若是，求出它的均值點；若不是，請說明理由；
（2）若函數f（x）=-x2+mx+1是區(qū)間[-1，1]上的平均值函數，試確定實數m的取值范圍．

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