Question

已知數(shù)列{a_n}，滿足a_n+2=7a_n+1-12a_n，n∈N^*，a₁=1，a₂=5
（1）求證：數(shù)列{a_n+1-3a_n}和{a_n+1-4a_n}均為等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）求證：

n

i=1

i

ai

＜

16

9

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）a_n+2=7a_n+1-12a_n，n∈N^*，能推導(dǎo)出a_n+2-3a_n+1=4（a_n+1-3a_n），a_n+2-4a_n+1=3（a_n+1-4a_n），由此能證明數(shù)列{a_n+1-3a_n}和{a_n+1-4a_n}均為等比數(shù)列．
（Ⅱ）由{a_n+1-3a_n}的通項(xiàng)公式和{a_n+1-4a_n}的通項(xiàng)公式相減之差能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅲ）由an=2•4n-1-3n-1＞4^n-1，得到

n

an

=

n

2•4n-1-3n-1

＜

n

4n-1

=n•(

1

4

)n，由此利用放縮法和錯(cuò)位相減法能證明

n

i=1

i

ai

＜

16

9

．

解答： （Ⅰ）證明：∵a_n+2=7a_n+1-12a_n，n∈N^*，a₁=1，a₂=5，
∴a_n+2-3a_n+1=4（a_n+1-3a_n），
∴{a_n+1-3a_n}首項(xiàng)為a2 -3a1=5-3=2，公比為4的等比數(shù)列，
∵a_n+2=7a_n+1-12a_n，n∈N^*，a₁=1，a₂=5，
∴a_n+2-4a_n+1=3（a_n+1-4a_n），
∴{a_n+1-4a_n}是首項(xiàng)為a₂-4a₁=5-4=1，公比為3的等比數(shù)列．
（Ⅱ）∵{a_n+1-3a_n}首項(xiàng)為a2 -3a1=5-3=2，公比為4的等比數(shù)列，
∴a_n+1-3a_n=2•4^n-1，
∵{a_n+1-4a_n}是首項(xiàng)為a₂-4a₁=5-4=1，公比為3的等比數(shù)列，
∴a_n+1-4a_n=3^n-1，
∴a_n=2•4^n-1-3^n-1（n∈N^*）．
（Ⅲ）證明：∵an=2•4n-1-3n-1＞4^n-1，
∴

n

an

=

n

2•4n-1-3n-1

＜

n

4n-1

=n•(

1

4

)n，
∴

n

i=1

i

ai

＜

n

i=1

i•(

1

4

)i-1，
設(shè)S_n=

n

i=1

i•(

1

4

)i-1=1+2•

1

4

+3•（

1

4

）²+…+n•（

1

4

）^n-1，①

1

4

Sn=

1

4

+2•(

1

4

)2+3•(

1

4

)3+…+n•(

1

4

)n，②
①-②，得：

3

4

Sn=1+

1

4

+(

1

4

)2+(

1

4

)3+…+(

1

4

)n-1-n•(

1

4

)n
=

1-( 1 4 )n

1- 1 4

-n•(

1

4

)n
=

4

3

[1-(

1

4

)n]-n•(

1

4

)n，
∴S_n=

16

9

[1-(

1

4

)n]-

4

3

n•(

1

4

)n＜

16

9

．
∴

n

i=1

i

ai

＜

n

i=1

i•(

1

4

)i-1＜

16

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和小于定值的證明，綜合性強(qiáng)，對(duì)數(shù)學(xué)的思維能力要求較高．