Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)（）．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；

（2）設(shè)，求證：當(dāng)時(shí)，；

（3）若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，（），求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）見解析；（3）實(shí)數(shù)的取值范圍是.

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)時(shí),, ，進(jìn)一步求函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，即切線的斜率，得到切線方程.

（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)

應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性得：函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上是單調(diào)遞減

根據(jù)，即得證.

（3）由得.

討論當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在的單調(diào)性，確定.

通過，由得解得，得到實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析：（1）當(dāng)時(shí),,

,

函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為

即 4分

（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)

則，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

因此，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上是單調(diào)遞減

得，即. 9分

（3）由得.

當(dāng)時(shí)則在上是單調(diào)遞增，

因此函數(shù)至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意. 10分

當(dāng)時(shí)，由得

因此，在上是單調(diào)遞增，在上是單調(diào)遞減，

所以.

一方面，當(dāng)從右邊趨近于0時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，

因此， 11分

另一方面，由得，即

因此，

很明顯在上是單調(diào)遞增且

根據(jù)題意得 ，

即方程有且只有一個(gè)大于1的正實(shí)數(shù)根.

設(shè)，由得解得

所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是 14分

考點(diǎn)：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值、函數(shù)的零點(diǎn).

考點(diǎn)分析： 考點(diǎn)1：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 試題屬性

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