Question

已知等比數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，a₂=4，a₃+a₄=24．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₂a_n，求數(shù)列{

bn

an

}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)等比數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，a₂=4，a₃+a₄=24，求出數(shù)列的首項(xiàng)與公比，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₂a_n，可得數(shù)列{

bn

an

}的通項(xiàng)，再利用錯(cuò)位相減法，可求數(shù)列{

bn

an

}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）由已知

a2=4 a3+a4=24

，解得

a1=2 q=2

，所以an=2n（5分）
（Ⅱ）根據(jù)條件易得，bn=n，

bn

an

=

n

2n

（7分）
于是Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，
所以

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

，
以上二式相減，可得，

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

，
所以Tn=2-

n+2

2n

．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)列的求和，確定數(shù)列的通項(xiàng)，正確運(yùn)用錯(cuò)位相減法是關(guān)鍵．