Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：，（n∈N^*），數(shù)列{b_n}=1-{a_n}²（n∈N^*），數(shù)列{c_n}^_={a_n+1}²-{a_n}²
（n∈N^*）．
（1）證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{c_n}的通項公式；
（3）是否存在數(shù)列c_n的不同項c_i，c_j，c_k（i＜j＜k），使之成為等差數(shù)列？若存在請求出這樣的不同項c_i，c_j，c_k（i＜j＜k）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由已知a_n≠±1，b_n≠0（n∈N^*），3（1-a_n+1²）=2（1-a_n²）
a_n+1²=+a_n²，
所以{b_n}是為首項，為公比的等比數(shù)列
（2）
（3）假設(shè)存在c_i，c_j，c_k滿足題意成等差2c_j=c_i+c_k代入得，左偶右奇不可能成立．所以假設(shè)不成立，這樣三項不存在．
分析：（1）由已知a_n≠±1，b_n≠0，，3（1-a_n+1²）=2（1-a_n²），a_n+1²=+a_n²，，由此能夠證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．
（2）由，知，由此能求出{c_n}的通項公式．
（3）假設(shè)存在c_i，c_j，c_k滿足題意成等差2c_j=c_i+c_k代入得，左偶右奇不可能成立．所以假設(shè)不成立，故這樣三項不存在．
點評：本題考查等比數(shù)列的證明、求解數(shù)列通項公式的方法和等差中項的綜合運用，解題時要認真審題，仔細思考，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．