Question

已知數(shù)列{a_n]滿足a₁=2，an+1=

1+an

1-an

（n∈N^*），則a₂₀₁₂=

1

3

．

Answer 1

分析：根據(jù)數(shù)列實(shí)質(zhì)就是函數(shù)，所以可令a_n=f（n），把an+1=

1+an

1-an

轉(zhuǎn)化為f（n+1）與f（n）的關(guān)系，分析得到a_n周期出現(xiàn)．

解答：解：設(shè)a_n=f（n），由an+1=

1+an

1-an

得，f(n+1)=

1+f(n)

1-f(n)

，則f（n+2）=f[（n+1）+1]=

1+f(n+1)

1-f(n+1)

=

1+ 1+f(n) 1-f(n)

1- 1+f(n) 1-f(n)

=

2

-2f(n)

=-

1

f(n)

∴f(n+4)=-

1

f(n+2)

=-

1

- 1 f(n)

=f(n)，所以數(shù)列a_n是以4為周期出現(xiàn)的，
所以a₂₀₁₂=a₄，
又a2=

1+2

1-2

=-3，a3=

1-3

1+3

=-

1

2

，a4=

1- 1 2

1+ 1 2

=

1

3

所以a2012=

1

3

．
故答案為

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的遞推公式，解決此題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化成函數(shù)，進(jìn)一步求出函數(shù)的周期，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想．