Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M為的棱BB₁的中點(diǎn)，則異面直線AM與BD₁所成角的余弦值是（　　）

• A．

  10

  15

• B．

  15

  10

• C．

  10

  10

• D．

  15

  15

Answer 1

分析：以D為原點(diǎn)，DC所在的直線為y軸，DA所在的直線為x軸，DD₁所在的直線 為Z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
給出各點(diǎn)的坐標(biāo)，求出

BD1

 和

AM

的坐標(biāo)，求出cos＜

BD1

，

AM

＞的值，即可得到 AM與BD₁所成角的余弦值．

解答：解：以D為原點(diǎn)，DC所在的直線為y軸，DA所在的直線為x軸，DD₁所在的直線 為Z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
則B（1，1 0），D₁（0，0，1），A（1，0，0），M（1，1，

1

2

）．

BD1

=（-1，-1，1），

AM

=（0，1，

1

2

）．
∴cos＜

BD1

，

AM

＞=

BD1 • AM

| BD1 |•  |AM |

=

0-1+ 1 2

3 × 5 4

=-

15

15

．
故異面直線AM與BD₁所成角的余弦值是

15

15

．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考察用空間向量求二面角的夾角與兩直線的夾角，解題的關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，及掌握向量法求線線角，面面角的向量公式，本題考察了數(shù)形結(jié)合的思想及轉(zhuǎn)化的思想，利用向量求解決立體幾何問(wèn)題是近幾年高考的熱點(diǎn)，向量法解決立體幾何問(wèn)題降低了思維難度，化推理為計(jì)算，使得幾何求解變得簡(jiǎn)單，此法也有不足，需要建立坐標(biāo)系，且運(yùn)算量較大．