Question

已知函數(shù)f(x)=2x-

a

x

的定義域?yàn)椋?，1]（a為實(shí)數(shù)）．
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的值域；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，判斷函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性并給予證明；
（3）若f（x）＞5在定義域上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將a的值代入函數(shù)解析式，利用基本不等式求出函數(shù)的值域．
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，y=f（x）在（0，1]上為單調(diào)遞增函數(shù)，再利用定義證明；
（3）當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f（x）＞5在定義域上恒成立，等價(jià)于a＜2x²-5x在x∈（0，1]時(shí)恒成立，求函數(shù)．g（x）=2x²-5x的最小值即可．

解答：解：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，f(x)=2x+

1

x

，
∵x∈（0，1]，
∴f(x)=2x+

1

x

≥2

2x• 1 x

=2

2

，當(dāng)且僅當(dāng)2x=

1

x

，即x=

2

2

時(shí)取等號(hào)，
∴函數(shù)y=f（x）的值域?yàn)?span id="nbapbyu" class="MathJye">[ 2

2

 ， +∞ )．
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，y=f（x）在（0，1]上為單調(diào)遞增函數(shù)．證明如下：任取x₁，x₂∈（0，1]，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=( x1-x2) ( 2+

a

x1x2

 )＜0，所以y=f（x）在（0，1]上為單調(diào)遞增函數(shù)．
（3）當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f（x）＞5在定義域上恒成立，即a＜2x²-5x在x∈（0，1]時(shí)恒成立．
設(shè)g（x）=2x²-5x，當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，g（x）∈[-3，0），只要a＜-3即可，即a的取值范圍是（-∞，-3）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的值域，考查函數(shù)的單調(diào)性及恒成立問題，有一定的綜合性．