若拋物線x2=2y的頂點是拋物線上距離點A(0,a)最近的點,則a的取值范圍是
a≤1
a≤1
分析:將拋物線上的點離點A的距離用兩點距離的平方表示出來,再研究二次函數(shù)的最值.
解答:解:設(shè)點P(x,y)為拋物線上的任意一點,則點P離點A(0,a)的距離的平方為
|AP|2=x2+(y-a)2
=x2+y2-2ay+a2
∵x2=2y
∴|AP|2=2y+y2-2ay+a2(y≥0)
=y2+2(1-a)y+a2(y≥0)
∴對稱軸為a-1
∵離點A(0,a)最近的點恰好是頂點
∴a-1≤0解得a≤1
故答案為:a≤1.
點評:本題考查二次函數(shù)在給定區(qū)間的最值的求法:弄清對稱軸與區(qū)間的關(guān)系,在y=0時取到最小值,函數(shù)在定義域內(nèi)遞增,對稱軸在區(qū)間左邊.
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