Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長是2，側棱長是

3

，D是AC的中點．
（Ⅰ）求證：B₁C∥平面A₁BD；
（Ⅱ）求二面角A₁-BD-A的大��；
（Ⅲ）在線段AA₁上是否存在一點E，使得平面B₁C₁E⊥平面A₁BD，若存在，求出AE的長；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的性質,直線與平面平行的判定,與二面角有關的立體幾何綜合題

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連結AB₁交A₁B于M，連結B₁C，DM，由已知條件得四邊形AA₁B₁B是矩形，由三角形中位線能證明B₁C∥平面A₁BD．
（Ⅱ）作CO⊥AB于O，建立空間直角坐標系O-xyz．利用向量法能求出二面角A₁-BD-A的大�。�
（Ⅲ）設E（1，x，0），求出平面B₁C₁E的法向量，利用向量法能求出存在點E，使得平面B₁C₁E⊥平面A₁BD，且AE=

3

3

．

解答： （本小題滿分14分）
（Ⅰ）證明：連結AB₁交A₁B于M，連結B₁C，DM，
因為三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
所以四邊形AA₁B₁B是矩形，
所以M為A₁B的中點．
因為D是AC的中點，
所以MD是三角形AB₁C的中位線，…（2分）
所以MD∥B₁C．…（3分）
因為MD?平面A₁BD，B₁C?平面A₁BD，
所以B₁C∥平面A₁BD．…（4分）
（Ⅱ）解：作CO⊥AB于O，所以CO⊥平面ABB₁A₁，
所以在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
如圖建立空間直角坐標系O-xyz．
因為AB=2，AA1=

3

，D是AC的中點．
所以A（1，0，0），B（-1，0，0），C(0 ， 0 ， 

3

)，A1(1 ， 

3

 ， 0)，…（5分）
所以D(

1

2

 ， 0 ， 

3

2

)，

BD

=(

3

2

 ， 0 ， 

3

2

)，

BA1

=(2 ， 

3

 ， 0)．
設

n

=(x ， y ， z)是平面A₁BD的法向量，
所以

n • BD =0  n • BA1 =0

即

3 2 x+ 3 2 z=0  2x+ 3 y=0

令x=-

3

，則y=2，z=3，
所以

n

=(-

3

 ， 2 ， 3)是平面A₁BD的一個法向量．…（6分）
由題意可知

AA1

=(0 ， 

3

 ， 0)是平面ABD的一個法向量，…（7分）
所以cos＜

n

 ， 

AA1

＞=

2 3

4 3

=

1

2

．…（8分）
所以二面角A₁-BD-A的大小為

π

3

．…（9分）
（Ⅲ）解：設E（1，x，0），則

C1E

=(-1 ， 

3

-x ， 

3

)，

C1B1

=(-1 ， 0， -

3

)
設平面B₁C₁E的法向量

n1

=(x1 ， y1 ， z1)，
所以

n1 • C1E =0  n • C1B1 =0

即

-x1+( 3 -x)y1+ 3 z1=0  -x1- 3 z1=0

令z1=-

3

，則x₁=3，y1=

6

3 -x

，

n1

=(3 ， 

6

3 -x

 ， -

3

)，…（12分）
又

n1

•

n

=0，即-3

3

+

12

3 -x

-3

3

=0，解得x=

3

3

，
所以存在點E，使得平面B₁C₁E⊥平面A₁BD且AE=

3

3

．…（14分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的求法，考查滿足條件的點判斷與求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．