Question

在平面直角坐標系xoy中，已知F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓G：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點，橢圓G與拋物線y²=-4x有一個公共的焦點，且過點（-

6

2

，1）．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）設點P是橢圓G在第一象限上的任一點，連接PF₁，PF₂，過P點作斜率為k的直線l，使得l與橢圓G有且只有一個公共點，設直線PF₁，PF₂的斜率分別為k₁，k₂，試證明

1

kk1

+

1

kk2

為定值，并求出這個定值；
（Ⅲ）在第（Ⅱ）問的條件下，作F₂Q⊥F₂P，設F₂Q交l于點Q，證明：當點P在橢圓上移動時，點Q在某定直線上．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）求出c，利用點在橢圓上得到方程，通過橢圓值a、b、c的關(guān)系，即可求橢圓G的方程；
（Ⅱ）設直線l方程為y=kx+m，并設點P（x₀，y₀），聯(lián)立直線與橢圓方程利用相切推出k、m的關(guān)系式，求出的橫坐標，直線PF₁，PF₂的斜率分別為k₁，k₂，推出k₁=

y0

x+1

，k₂=

y0

x-1

，代入

1

kk1

+

1

kk2

即可求出這個定值；
（Ⅲ）在第（Ⅱ）問的條件下，作F₂Q⊥F₂P，設F₂Q交l于點Q，求出Q的方程，即可判斷點Q在某定直線上．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得c=1，又

3

2a2

+

1

b2

=1，…（2分）
消去b可得，2a⁴-7a²+3=0，解得a²=3或a²=

1

2

（舍去），則b²=2，
求橢圓G的方程為C：

x2

3

+

y2

2

=1．…（4分）
（Ⅱ）設直線l方程為y=kx+m，并設點P（x₀，y₀），
由

2x2+3y2-6=0 y=kx+m

⇒（3k²+2）x²+6kmx+3m²-6=0．
∵△=0⇒m²=2+3k²，…（6分）
x₀=-

3km

2+3k2

=-

3k

m

＞0，
當k＞0時，m＜0，直線與橢圓相交，
∴k＜0，m＞0，m²=2+3k²⇒m=

6 3-x02

，
由

x02

3

+

y02

2

=1⇒y₀²=

2(3-x02)

3

得m=

2

y0

，
∴k=-

2x0

3y0

，…（8分）
y=-

2x0x

3y0

+

2

y0

，整理得：

xx0

3

+

yy0

2

=1．
而k₁=

y0

x+1

，k₂=

y0

x-1

，代入

1

kk1

+

1

kk2

中得

1

kk1

+

1

kk2

=-

3y0

2x0

(

x0+1

y0

+

x0-1

y0

)=-3為定值．…（10分）
（用導數(shù)求解也可，若直接用切線公式扣（4分），只得2分）
（ III）PF₂的斜率為：kPF2=

y0

x0-1

，又由PF₂⊥F₂Q⇒kF2Q=-

x0-1

y0

，
從而得直線F₂Q的方程為：y=-

x0-1

y0

(x0-1)，聯(lián)立方程

y=- x0-1 y0 (x0-1) xx0 3 + yy0 2 =1

，
消去y得方程（x₀-3）（x-3）=0，因為x₀≠3，∴x=3，
即點Q在直線x=3上．…（14分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，軌跡方程的求法，考查學生分析問題解決問題的能力以及計算能力，屬于中檔題．