Question

已知集合A={x|ax²-3x-4=0}．
（1）若a=10，求集合A；
（2）若A≠∅，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若B={-1，4}，且A⊆B，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）若a=10，則集合A={x|10x²-3x-4=0}．利用二次方程的解集即可得出集合A；
（2）若A≠∅，則說明方程ax²-3x-4=0有實數(shù)根．分二次項系數(shù)為0和不為0討論．當a不為0，由A中至少有一個元素，知關于x的方程ax²-3x-4=0有實數(shù)根，由此能求出實數(shù)a的取值范圍．
（3）當a=0時，方程為-3x-4=0，所以集合A={-

4

3

}，不符合題意；當a≠0時，再就根的判別式的情況分△＜0，△=0，△＞0，討論，由此能求出實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）當a=10時，A={x|10x²-3x-4=0}
由 10x²-3x-4=0解得：x=

4

5

或 x=-

1

2

A={

4

5

，-

1

2

}…（3分）
（2）當a=0時，A={-

4

3

}≠∅即a=0符合題意；      …（4分）
當a≠0時，有△=9+16a≥0，解得a≥-

9

16

且 a≠0…（6分）
綜合得：a≥-

9

16

…（8分）
（3）由A⊆B={-1，4}知：
當a=0時，A={-

4

3

}?B，不合題意舍去；   …（9分）
當a≠0時，若△=9+16a＜0，即a＜-

9

16

時A=∅符合題意；…（11分）
若△=9+16a=0，A={-

8

3

}?B，不合題意，舍去；    …（13分）
若△=9+16a＞0，知-1，4為方程ax²-3x-4=0的兩個根，
所以 -1+4=

3

a

，即有 a=1…（15分）
綜合以上得：a＜-

9

16

或 a=1…（16分）

點評：本題考查集合的包含關系判斷及應用．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化，注意分類討論思想的合理運用．