精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
精英家教網如圖所示,甲船由A島出發(fā)向北偏東45°的方向作勻速直線航行,速度為15
2
海里/小時,在甲船從A島出發(fā)的同時,乙船從A島正南40海里處的B島出發(fā),朝北偏東θ(tanθ=
1
2
)的方向作勻速直線航行,速度為10
5
海里/小時.
(1)求出發(fā)后3小時兩船相距多少海里?
(2)求兩船出發(fā)后多長時間距離最近?最近距離為多少海里?
(3)兩船在航行中能否相遇,試說明理由.
分析:(1)以A為原點,BA所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系.設在t時刻甲、乙兩船分別在P(x1,y1)、Q(x2,y2)處.則根據題意可分別表示出x1和y1,進而根據由tanθ=
1
2
可求得cosθ和sinθ的值,進而表示出x2和y2,令t=3,則P,Q兩點坐標可得,進而根據兩點間的距離求得PQ的值,即出發(fā)后3小時兩船相距的距離.
(2)根據(1)可根據兩點間的距離求得QP,進而根據t的范圍求得PQ的最小值,進而可求得兩船出發(fā)4小時后距離最近,最近距離為20
2
海里.
(3)根據(2)可知兩船之間的最近距離為20
2
海里,推斷出兩船不可能相遇.
解答:精英家教網解:以A為原點,BA所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系.
設在t時刻甲、乙兩船分別在P(x1,y1)、Q(x2,y2)處.
x1=15
2
tcos45°=15t  
y1=x1=15t 

由tanθ=
1
2
可得,
cosθ=
2
5
5
,sinθ=
5
5

x2=10
5
tsinθ=10t 
y2=10
5
tcosθ-40=20t-40 

(1)令t=3,P、Q兩點的坐標分別為(45,45),(30,20),
|PQ|=
(45-30)2+(45-20)2
=
850
=5
34

即出發(fā)后3小時兩船相距5
34
海里.
(2)由(1)的解法過程易知:
|PQ|=
(x2-x1)2+(y2-y1)2

=
(10t-15t)2+(20t-40-15t)2

=
50t2-400t+1600
=
50(t-4)2+800
≥20
2

∴當且僅當t=4時,|PQ|取得最小值20
2

即兩船出發(fā)4小時后距離最近,最近距離為20
2
海里.
(3)由(2)可知,兩船之間的最近距離為20
2
海里,所以兩船在航行中不會相遇
點評:本題主要考查了解三角形問題的實際應用.考查了學生綜合分析問題和解決的能力.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖所示,甲船由A島出發(fā)向北偏東45°的方向作勻速直線航行,速度為15
2
海里/小時,在甲船從A島出發(fā)的同時,乙船從A島正南40海里處的B島出發(fā),朝北偏東θ(tanθ=
1
2
)的方向作勻速直線航行,速度為m海里/小時.
(Ⅰ)求4小時后甲船到B島的距離為多少海里?
(Ⅱ)若兩船能相遇,求m.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

如圖所示,甲船由A島出發(fā)向北偏東45°的方向作勻速直線航行,速度為15
2
海里/小時,在甲船從A島出發(fā)的同時,乙船從A島正南40海里處的B島出發(fā),朝北偏東θ(tanθ=
1
2
)的方向作勻速直線航行,速度為m海里/小時.
(1)若兩船能相遇,求m.
(2)當m=10
5
時,求兩船出發(fā)后多長時間距離最近,最近距離為多少海里?

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源:2010-2011學年河南省開封市高三模擬考試理科數學 題型:解答題

(本小題滿分12分)

如圖所示,甲船由A島出發(fā)向北偏東的方向作勻速直線航行,速度為海里/小時,在甲船從A島出發(fā)的同時,乙船從A島正南40海里處的B島出發(fā),朝北偏東的方向作勻速直線航行,速度為海里/小時。

   (1)若兩船能相遇,求。

   (2)當時,求兩船出發(fā)后多長時間距離最近,最近距離為多少海里?

 

 

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源:2011年高考數學復習:3 三角函數、解三角形 質量檢測(1)(解析版) 題型:解答題

如圖所示,甲船由A島出發(fā)向北偏東45°的方向作勻速直線航行,速度為15海里/小時,在甲船從A島出發(fā)的同時,乙船從A島正南40海里處的B島出發(fā),朝北偏東θ(tanθ=)的方向作勻速直線航行,速度為10海里/小時.
(1)求出發(fā)后3小時兩船相距多少海里?
(2)求兩船出發(fā)后多長時間距離最近?最近距離為多少海里?
(3)兩船在航行中能否相遇,試說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案