已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點M（0，2）是橢圓的一個頂點，△F1MF2是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點M分別作直線MA，MB交橢圓于A，B兩點，設兩直線的斜率分別為k1，k2，且k1+k2=8，證明：直線AB過定點．
【答案】分析：（Ⅰ）由題設條件知b=2，，由此能夠求出橢圓方程．
（Ⅱ）若直線AB的斜率存在，設AB方程為y=kx+m，依題意m≠±2．由 ，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，由韋達定理結合題設條件能夠導出直線AB過定點（-，-2）．若直線AB的斜率不存在，設AB方程為x=x，由題設條件能夠導出直線AB過定點（-，-2）．
解答：解：（Ⅰ）∵橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，
點M（0，2）是橢圓的一個頂點，△F1MF2是等腰直角三角形，
∴b=2，，
所求橢圓方程為． …（5分）
（Ⅱ）若直線AB的斜率存在，設AB方程為y=kx+m，
依題意m≠±2．
設A（x1，y1），B（x2，y2），
由 ，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0．…（7分）
則，．
∵，
∴，
即2k+（m-2）•=8．…（10分）
所以k=-，整理得 m=．
故直線AB的方程為y=kx+，即y=k（x+）-2．
所以直線AB過定點（-，-2）． …（12分）
若直線AB的斜率不存在，設AB方程為x=x，
設A（x，y），B（x，-y），
由已知，
得．此時AB方程為x=-，顯然過點（-，-2）．
綜上，直線AB過定點（-，-2）．…（13分）
點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線過定點的證明，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，橢圓的離心率為
1
2
且經(jīng)過點P(1，
3
2
)．M為橢圓上的動點，以M為圓心，MF2為半徑作圓M．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若圓M與y軸有兩個交點，求點M橫坐標的取值范圍；
（3）是否存在定圓N，使得圓N與圓M相切？若存在．求出圓N的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的左、右焦點分別為，其右準線上上存在點（點在 軸上方），使為等腰三角形．

⑴求離心率的范圍；

    ⑵若橢圓上的點到兩焦點的距離之和為，求的內切圓的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年山東省高三下學期假期檢測考試理科數(shù)學試卷 題型：解答題

已知橢圓的左、右焦點分別為，， 點是橢圓的一個頂點，△是等腰直角三角形．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點分別作直線，交橢圓于，兩點，設兩直線的斜率分別為，，且，證明：直線過定點（）．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年福建省三明市高三上學期三校聯(lián)考數(shù)學理卷 題型：解答題

（本題滿分14分）     已知橢圓的左、右焦點分別為F1、F2，其中

F2也是拋物線的焦點，M是C1與C2在第一象限的交點，且  

（I）求橢圓C1的方程；   （II）已知菱形ABCD的頂點A、C在橢圓C1上，頂點B、D在直線上，求直線AC的方程。

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年云南省德宏州高三高考復習數(shù)學試卷 題型：解答題

（本小題滿分12分）

已知橢圓的左、右焦點分別為、，離心率，右準線方程為．

（I）求橢圓的標準方程；

（II）過點的直線與該橢圓交于M、N兩點，且，求直線的方程．

 

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