Question

【題目】已知函數(shù),．

（1）求的單調(diào)區(qū)間;

（2）設(shè)函數(shù),若存在,對任意的,總有成立,求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為；（2）實數(shù)的取值范圍為.

【解析】

試題分析：（1）首先確定函數(shù)的定義域，進一步對求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系，得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）“存在,對任意的,總有成立”等價于“在上的最大值不小于在上的最大值”進一步，分別求函數(shù)和在區(qū)間和上的最大值.

試題解析：（1） ,（此處若不寫定義域，可適當扣分）

故．

當時,;當時,．

的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為；

（2）,則,

而,故在上,即函數(shù)在上單調(diào)遞增,

而“存在,對任意的,總有成立”等價于“在上的最大值不小于在上的最大值”

而在上的最大值為中的最大者,記為．

所以有,,

．

故實數(shù)的取值范圍為.