已知橢圓的中心在原點(diǎn),離心率為
1
2
,一個(gè)焦點(diǎn)是F(-m,0)(m是大于零的常數(shù)).
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)Q是橢圓上的一點(diǎn),且過(guò)點(diǎn)F,Q的直線l與y軸相交于點(diǎn)M,若|
MQ
|=2|
QF
|
,求直線l的斜率.
分析:(1)依題意可知c,進(jìn)而根據(jù)離心率求得a,最后根據(jù)a,b和c的關(guān)系求得b,則橢圓的方程可得;
(2)設(shè)出直線l的方程,則M的坐標(biāo)可得,設(shè)出Q的坐標(biāo),根據(jù)|
MQ
|=2|
QF
|
,求得x1和y1代入橢圓方程求得k.
解答:解:(1)依題意,設(shè)橢圓的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)
∵離心率為
1
2
,一個(gè)焦點(diǎn)是F(-m,0)
∴c=m,
c
a
=
1
2

∴a=2c=2m,∴b=
a2-c2
=
3
m,
∴橢圓的方程為:
x2
4m2
+
y2
3m2
=1

(2)由題意可知直線l的斜率存在,設(shè)直線斜率為k,直線l的方程為y=k(x+m),則有M(0,km),
設(shè)Q(x1,y1),則
|
MQ
|=2|
QF
|
,根據(jù)題意得(x1,y1-km)=±2(x1+m,y1)解得x1=-2m,y1=-km或x1=-
2
3
m,y1=
km
3

又Q在橢圓C上,故
(-2m)2
4m2
+
(-km)2
3m2
=1
(-
2
3
m)
2
4m2
+
(
km
3
)
2
3m2
=1

解得k=0或k=±2
6

綜上,直線l的斜率0或±2
6
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查向量知識(shí)的運(yùn)用,考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為
2
2
,且橢圓經(jīng)過(guò)圓C:x2+y2-4x+2
2
y=0的圓心C.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線l過(guò)橢圓的焦點(diǎn)且與圓C相切,求直線l的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓的中心在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,直線y=2x+1與該橢圓相交于P和Q,且OP⊥OQ,|PQ|=
1011
,求橢圓的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓的中心在原點(diǎn),對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,左焦點(diǎn)為F1(-3,0),右準(zhǔn)線方程為x=
253

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率e;
(2)設(shè)P為橢圓上第一象限的點(diǎn),F(xiàn)2為右焦點(diǎn),若△PF1F2為直角三角形,求△PF1F2的面積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓的中心在原點(diǎn),且橢圓過(guò)點(diǎn)P(3,2),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的3倍,求橢圓的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓的中心在原點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn)F1(0,-2
2
),且離心率e滿足:
2
3
,e,
4
3
成等比數(shù)列.
(1)求橢圓方程;
(2)直線y=x+1與橢圓交于點(diǎn)A,B.求△AOB的面積.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案