Question

9．已知向量$\overrightarrow m=（\sqrt{3}sinωx，1）$，$\overrightarrow n=（cosωx，{cos^2}ωx+1）$，設(shè)函數(shù)f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$+b．
（1）若函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{6}$對稱，且ω∈[0，3]時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)$x∈[{0，\frac{7π}{12}}]$時，函數(shù)f（x）有且只有一個零點，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面向量數(shù)量積運(yùn)算求解出函數(shù)$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$+b，利用函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線$x=\frac{π}{6}$對稱，且ω∈[0，3]時，求解ω，可求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（2）當(dāng)$x∈[{0，\frac{7π}{12}}]$時，求出函數(shù)f（x）的單調(diào)性，函數(shù)f（x）有且只有一個零點，利用其單調(diào)性求解求實數(shù)b的取值范圍．

解答 解：向量$\overrightarrow m=（\sqrt{3}sinωx，1）$，$\overrightarrow n=（cosωx，{cos^2}ωx+1）$，函數(shù)$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$+b．
則$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n+b=\sqrt{3}sinωxcosωx+{cos^2}ωx+1+b$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2ωx+\frac{1}{2}cos2ωx+\frac{3}{2}+b$=$sin（2ωx+\frac{π}{6}）+\frac{3}{2}+b$．
（1）∵函數(shù)f（x）圖象關(guān)于直線$x=\frac{π}{6}$對稱，
∴$2ω•\frac{π}{6}+\frac{π}{6}=kπ+\frac{π}{2}$（k∈Z），
解得：ω=3k+1（k∈Z），
∵ω∈[0，3]，
∴ω=1，
∴$f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{3}{2}+b$，
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，
解得：$kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}$（k∈Z），
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為$[{kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}}]$（k∈Z）．
（2）由（1）知$f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{3}{2}+b$，
∵$x∈[{0，\frac{7π}{12}}]$，
∴$2x+\frac{π}{6}∈[{\frac{π}{6}，\frac{4π}{3}}]$，
∴$2x+\frac{π}{6}∈[{\frac{π}{6}，\frac{π}{2}}]$，即$x∈[{0，\frac{π}{6}}]$時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
$2x+\frac{π}{6}∈[{\frac{π}{2}，\frac{4π}{3}}]$，即$x∈[{\frac{π}{6}，\frac{7π}{12}}]$時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
又$f（0）=f（\frac{π}{3}）$，
∴當(dāng)$f（\frac{π}{3}）＞0≥f（\frac{7π}{12}）$或$f（\frac{π}{6}）=0$時函數(shù)f（x）有且只有一個零點．
即sin$\frac{4π}{3}$≤-b-$\frac{3}{2}$＜sin$\frac{5π}{6}$或$1+\frac{3}{2}+b=0$，
所以滿足條件的$b∈（-2，\frac{{\sqrt{3}-3}}{2}]∪\left\{{-\frac{5}{2}}\right\}$．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．