Question

已知函數(shù)f（x）=x³-（a-1）x²+b²x，其中a，b為實常數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）為奇函數(shù)的充要條件；
（Ⅱ）若任取a∈[0，4]，b∈[0，3]，求函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)的概率．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）為奇函數(shù)得到f（-x）=-f（x），代入函數(shù)解析式，得到恒成立的方程，整理對應(yīng)相等，即可求得常數(shù)a的值；（Ⅱ）函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)轉(zhuǎn)化為f'（x）≥0恒成立，∴△≤0解得a，b的一個關(guān)系式，根據(jù)a∈[0，4]，b∈[0，3]，畫出圖象，即可求得函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)的概率．
解答：解：（Ⅰ）若f（x）任意x∈R，
有f（x）+f（-x）=0
即
∴2（a-1）x²=0∴a=1
當a=1 時，
，所以f（x）為奇函數(shù)．
故f（x）為奇函數(shù)的充要條件是a=1．

（Ⅱ）因為f'（x）=x²-2（a-1）x+b²．
若f（x）在R上是增函數(shù)，則對任意x∈R，f'（x）≥0恒成立．
所以△=4（a-1）²-4b²≤0，即|a-1|＜|b|．
設(shè)“f（x）在R上是增函數(shù)”為事件A，則事件A對應(yīng)的區(qū)域為{（a，b）||a-1|＜|b|}．
又全部試驗結(jié)果Ω=（a，b）|0≤a≤4，0≤b≤3，如圖．
所以=．
故函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)的概率為．
點評：（Ⅰ）考查函數(shù)的奇偶性的定義，以及方程的思想方法求參數(shù)的值，特別注意函數(shù)的定義域；（Ⅱ）考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為恒成立問題求解，是導(dǎo)數(shù)與幾何概型相結(jié)合的題目，新穎，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題．