Question

已知函數(shù)f(x)=a|x|+

2

ax

（a＞0，a≠1），
（1）若a＞1，且關(guān)于x的方程f（x）=m有兩個(gè)不同的正數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f（-x），x∈[-2，+∞），g（x）滿足如下性質(zhì)：若存在最大（�。┲担瑒t最大（�。┲蹬ca無(wú)關(guān)．試求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令a^x=t，將“方程f（x）=m有兩個(gè)不同的正數(shù)解”轉(zhuǎn)化為：“關(guān)于t的方程t+

2

t

=m有相異的且均大于1的兩根”，即關(guān)于t的方程t²-mt+2=0有相異的且均大于1的兩根，求解．
（2）根據(jù)題意有g(shù)（x）=a^|x|+2a^x，x∈[-2，+∞），根據(jù)指數(shù)函數(shù)，分①當(dāng)a＞1時(shí)，②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，兩種情況分析，每種情況下，根據(jù)絕對(duì)值，再按照x≥0時(shí)和-2≤x＜0兩種情況討論．最后綜合取并集．

解答：解：（1）令a^x=t，x＞0，
∵a＞1，所以t＞1，
∴關(guān)于x的方程f（x）=m有兩個(gè)不同的正數(shù)解
轉(zhuǎn)化為：方程t+

2

t

=m有相異的且均大于1的兩根，
∴

△=m2-8＞0 m 2 ＞1 12-m+2＞0

解得2

2

＜m＜3，
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(2

2

，3)．
（2）g（x）=a^|x|+2a^x，x∈[-2，+∞）
①當(dāng)a＞1時(shí)，
x≥0時(shí)，a^x≥1，g（x）=3a^x，所以g（x）∈[3，+∞），
-2≤x＜0時(shí)，

1

a2

≤ax＜1，g（x）=a^-x+2a^x，所以g′(x)=-a-xlna+2axlna=

2(ax)2-1

ax

lna
ⅰ當(dāng)

1

a2

＞

1 2

即1＜a＜

4	2

時(shí)，對(duì)?x∈（-2，0），g′（x）＞0，所以g（x）在[-2，0）上遞增，
所以g(x)∈[a2+

2

a2

，3)，
綜上：g（x）有最小值為a2+

2

a2

與a有關(guān)，不符合（10分）
ⅱ當(dāng)

1

a2

≤

1 2

即a≥

4	2

時(shí)，由g′（x）=0得x=-

1

2

loga2，
且當(dāng)-2＜x＜-

1

2

loga2時(shí)，g′（x）＜0，
當(dāng)-

1

2

loga2＜x＜0時(shí)，g′（x）＞0，
所以g（x）在[-2，-

1

2

loga2]上遞減，在[-

1

2

loga2，0]上遞增，
所以g(x)min=g(-

1

2

loga2)=2

2

，
綜上：g（x）有最小值為2

2

與a無(wú)關(guān)，符合要求．
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，
a）x≥0時(shí)，0＜a^x≤1，g（x）=3a^x，所以g（x）∈（0，3]
b）-2≤x＜0時(shí)，1＜ax≤

1

a2

，g（x）=a^-x+2a^x，
所以g′(x)=-a-xlna+2axlna=

2(ax)2-1

ax

lna＜0，g（x）在[-2，0）上遞減，
所以g(x)∈(3，a2+

2

a2

]，
綜上：a）b）g（x）有最大值為a2+

2

a2

與a有關(guān)，不符合
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥

4	2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，主要涉及了方程的根，函數(shù)的最值等問(wèn)題，還考查了分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想．