如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥平面ABCD，其中BC=2AB=2PA=6，M、N為側(cè)棱PC上的兩個(gè)三等分點(diǎn)．
①求證：AN∥平面MBD；
②求二面角M-BD-C的余弦值．

解：①證明：連接對(duì)角線AC交BD于點(diǎn)O，
∵底面ABCD是矩形，∴AO=OC．
又∵NM=MC=，∴OM∥AN．
又∵AN?平面MBD，OM?平面MBD．
∴AN∥平面MBD；
②距離如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：∵BC=2AB=2PA=6，∴D（6，0，0），C（6，3，0），B（0，3，0），P（0，0，3）．
由M點(diǎn)為線段PC的三等分點(diǎn)，∴M（4，2，1）．
∴，．
設(shè)平面BMD的法向量．
則即，令y=2，則x=1，z=．
∴．
∵PA⊥平面BCD，∴可取=（0，0，3）作為平面BCD的法向量．
∴===．
∴二面角M-BD-C的余弦值為．
分析：①利用三角形的中位線定理和線面平行的判定定理即可證明；
②通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用求兩個(gè)平面的法向量所成的夾角的余弦值即可．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握三角形的中位線定理和線面平行的判定定理及利用兩個(gè)平面的法向量所成的夾角的余弦值求二面角的余弦值是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖：已知四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中點(diǎn)，
求證：
（1）PC∥平面EBD．
（2）平面PBC⊥平面PCD．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分別是BC、PC的中點(diǎn)．
（1）證明：AE⊥PD；
（2）設(shè)AB=2，若H為線段PD上的動(dòng)點(diǎn)，EH與平面PAD所成的最大角的正切值為
6
2
，求AP的長度．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形，∠BCD=60°，PD⊥AD．點(diǎn)E是BC邊上的中點(diǎn)．
（1）求證：AD⊥面PDE；
（2）若二面角P-AD-C的大小等于60°，且AB=4，PD=
8
3
3
；①求VP-ABED； ②求二面角P-AB-C大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•崇明縣二模）如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，E、F分別是BC，PC的中點(diǎn)，AB=2，AP=2．
（1）求證：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角E-AF-C的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•吉林二模）如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PA⊥面ABCD，且PA=AD=2，點(diǎn)M，N分別在PD，PC上，
PN
=
1
2
NC
，PM=MD．
（Ⅰ） 求證：PC⊥面AMN；
（Ⅱ）求二面角B-AN-M的余弦值．

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