Question

已知函數(shù)f（x）=2cosx（sinx-

3

cosx）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若對任意x∈[0，

π

2

]，使得[f（x）+

3

]+2m=0成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）化簡f（x）=2sin（2x-

π

3

）-

3

易解得最小正周期．
（2）[f（x）+

3

]+2m=0，則有sin（2x-

π

3

）+m=0；x∈[0，

π

2

]，則有-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，有-

3

2

≤sin（2x-

π

3

）≤1，從而可求出實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）f（x）=2cosx（sinx-

3

cosx）
=sin2x-2

3

cos²x
=sin2x-

3

cos2x-

3

=2sin（2x-

π

3

）-

3

故f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
（2）∵f（x）=2sin（2x-

π

3

）-

3

∴[f（x）+

3

]+2m=2sin（2x-

π

3

）-

3

+

3

+2m=2sin（2x-

π

3

）+2m=0
即有sin（2x-

π

3

）+m=0
∵x∈[0，

π

2

]，∴-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，有-

3

2

≤sin（2x-

π

3

）≤1，
∴-

3

2

≤-m≤1，
故解得m∈[-1，

3

2

]

點評：本題主要考察了三角函數(shù)中的恒等變換應用和三角函數(shù)的周期性及其求法，屬于中檔題．