Question

定義域為R的偶函數(shù)f（x），當x＞0時，f（x）=lnx-ax（a∈R），方程f（x）=0在R上恰有5個不同的實數(shù)解．
（1）求x＜0時，函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設x＜0，則-x＞0，然后代入函數(shù)的解析式，根據(jù)偶函數(shù)進行化簡即可求出x＜0時，函數(shù)f（x）的解析式；
（2）根據(jù)f（x）為偶函數(shù)，則f（x）=0的根關(guān)于原點對稱，由f（x）=0恰有5個不同的實數(shù)解知5個實根中有兩個正根，二個負根，一個零根，且兩個正根和二個負根互為相反數(shù)，從而原命題等價與當x＞0時f（x）圖象與x軸恰有兩個不同的交點，即y=lnx與直線y=ax交點的個數(shù)，由幾何意義知y=lnx與直線y=ax交點的個數(shù)為2時，直線y=ax的變化應是從x軸到與y=lnx相切之間的情形，從而求出實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）設x＜0，則-x＞0．
∵f（x）為偶函數(shù)，∴f（x）=f（-x）=ln（-x）+ax．
（2）∵f（x）為偶函數(shù)，∴f（x）=0的根關(guān)于原點對稱．
由f（x）=0恰有5個不同的實數(shù)解知5個實根中有兩個正根，二個負根，一個零根．
且兩個正根和二個負根互為相反數(shù)．∴原命題?當x＞0時f（x）圖象與x軸恰有兩個不同的交點．
下面研究x＞0時的情況：f（x）=0的零點個數(shù)?y=lnx與直線y=ax交點的個數(shù)．
∴當a≤0時，y=lnx遞增與直線y=ax下降或與x軸重合，
故交點的個數(shù)為1，不合題意，∴a＞0．
由幾何意義知y=lnx與直線y=ax交點的個數(shù)為2時，直線y=ax的變化應是從x軸到與y=lnx相切之間的情形． 
設切點(t，lnt)?k=(lnx)′|x=t=

1

t

，
∴切線方程為：y-lnt=

1

t

(x-t)．
由切線與y=ax重合知a=

1

t

，lnt=1?t=e，a=

1

e

，
故實數(shù)a的取值范圍為(0，

1

e

)．

點評：本題主要考查了函數(shù)的解析式，以及函數(shù)與方程和根的存在性和根的個數(shù)的判斷，屬于中檔題．