Question

已知f(x)=

ax2+x

2x2+b

為奇函數(shù)（a，b是常數(shù)），且函數(shù)f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)(1，

1

3

)
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）定義正數(shù)數(shù)列{a_n}，a1=

1

2

，

a

2 n+1

=2anf(an)(n∈N*)，求數(shù)列{a_n²}的通項(xiàng)公式；
（3）已知b&n=

a 2 n a 2 n+1

2n-2

，設(shè)S_n為b_n的前n項(xiàng)和，證明：

1

6

≤Sn＜

1

2

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的函數(shù)是一個(gè)奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的定義，得到a的值，根據(jù)函數(shù)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入，利用待定系數(shù)法得到結(jié)果．
（2）根據(jù)條件寫(xiě)出數(shù)列的遞推式，下面整理數(shù)列，通過(guò)配湊整理出數(shù)列{

1

a 2 n

-2}是以2為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列，寫(xiě)出數(shù)列通項(xiàng)，變形整理出結(jié)果．
（3）根據(jù)條件寫(xiě)出新數(shù)列的通項(xiàng)，觀察新數(shù)列分母的結(jié)構(gòu)，整理出可以應(yīng)用裂項(xiàng)的方法來(lái)解題，用裂項(xiàng)做出數(shù)列的前n項(xiàng)和，利用分析法寫(xiě)出要證的不等式．

解答：解：（1）f(x)=

ax2+x

2x2+b

為奇函數(shù)
∴f(-x)=

a(-x)2-x

2(-x)2+b

=

ax2-x

2x2+b

=-

ax2+x

2x2+b

=-f(x)，
∴a=0
又f（x）過(guò)點(diǎn)(1，

1

3

)，
∴f(1)=

x

2x2+b

=

1

2+b

=

1

3

，∴b=1
∴f(x)=

x

2x2+1

（2）∵

a

2 n+1

=2anf(n)=2an•

an

2 a 2 n +1

=

2 a 2 n

2 a 2 n +1

∴

1

a 2 n +1

=1+

1

2 a 2 n

∴

1

a 2 n +1

-2=

1

2

(

1

a 2 n

-2)
∴數(shù)列{

1

a 2 n

-2}是以2為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列              
∴

1

a 2 n

-2=2(

1

2

)n-1∴

a

2 n

=

1

2( 1 2 )n-1+2

（3）由（2）知：bn=

a 2 n a 2 n+1

2n-2

=

2n-1

(2n-1+1)(2n+1)

=

1

2n-1+1

-

1

2n+1

∴Sn=

1

1+1

-

1

2+1

+

1

2+1

-

1

22+1

+…+

1

2n-1+1

-

1

2n+1

=

1

2

-

1

2n+1

∵2n≥2?2n+1≥3?0＜

1

2n+1

≤

1

3

則

1

6

≤

1

2

-

1

2n+1

＜

1

2

∴

1

6

≤Sn＜

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列和函數(shù)的綜合，本題解題的關(guān)鍵是構(gòu)造正確的新函數(shù)，判斷出所給的數(shù)列是一個(gè)特殊的數(shù)列，本題是一個(gè)可以作為壓軸題目出現(xiàn)的題目．